Численные методы Монте-Карло

  

Численные методы Монте-Карло, И. М. Соболь. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.

Книга возникла из курса, который автор неоднократно читал в Московском инженерно-физическом институте, где у слушателей предполагалось знакомство с теорией вероятностей в весьма ограниченном объеме (соответствующем программе втузов). На этом уровне удалось рассмотреть важнейшие разделы теории методов Монте-Карло.

В книге эти разделы изложены значительно полнее, имеется много примеров, подобраны упражнения. Многие результаты излагаются впервые.

Книга рассчитана на студентов втузов, инженеров, научных работников. Она будет особенно полезной специалистам по вычислительной и прикладной математике.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ
1.2. О приближенных случайных числах.
1.3. Таблицы случайных цифр.
1.4. Датчики случайных чисел.
1.5. Метод псевдослучайных чисел.
1.6. Сравнение трех способов с практической точки зрения.
§ 2. Псевдослучайные числа
2.2. Некоторые конкретные алгоритмы.
2.3. Оценка L для алгоритмов вида ...
2.4. О более сложных алгоритмах.
§ 3. Статистическая проверка случайных чисел
3.1.2. Критерий согласия «хи-квадрат».
3.1.3. Замечания о применении критерия «хи-квадрат»
3.1.4. Критерий «омега-квадрат»
3.2. Проверка таблиц случайных цифр.
3.3. Проверка псевдослучайных чисел.
3.4. О проверке датчиков случайных чисел.
3.5. О проверке больших массивов случайных чисел.
Упражнения к главе 1
ГЛАВА 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.2. Моделирование случайных событий.
1.3. Моделирование непрерывных случайных величин.
1.4. Метод обратных функций.
1.5. Преобразования вида ...
§ 2. Моделирование многомерных случайных величин
2.2. Моделирование n-мерной непрерывной случайной точки (с произвольными координатами).
2.3. Возможные обобщения теоремы 4.
2.4. Использование замены переменных.
§ 3. Преобразования вида ...
3.2. Применение полярных координат.
3.3. Метод суперпозиции.
3.4. Метод интегральной суперпозиции.
3.5. Некоторые приложения метода суперпозиции.
§ 4. Преобразования вида ...
4.1. Извлечение корней из случайных чисел.
4.2. Моделирование гамма-распределения.
4.3. Моделирование семейства биномиальных распределений.
4.4. Приближенное моделирование нормального (гауссовского) распределения.
§ 5. Методы отбора
5.1. Общая характеристика методов отбора.
5.2. Моделирование усеченных распределений.
5.3. Метод Неймана [163].
5.4. О некоторых обобщениях метода Неймана.
5.5. Выбор равномерно распределенных точек в сложных областях.
5.6. Алгоритмы, соответствующие методам отбора.
5.7. Заключительные замечания.
Упражнения к главе 2
ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Общий метод оценки математических ожиданий
1.2. Погрешность метода.
1.3. Вероятная ошибка метода.
1.4. Эмпирическая оценка дисперсии.
1.5. Оценка ошибки без расчета дисперсии.
1.6. Случай ...
1.7. Замечание. О некоторых терминах, употребляемых в математической статистике [24, 44].
§ 2. Простейший метод Монте-Карло для вычисления интеграла
2.2. Геометрический метод Монте-Карло.
2.3. Сравнение точности методов Монте-Карло.
2.4. Сравнение трудоемкости алгоритмов Монте-Карло.
§ 3. Важнейшие способы построения хороших оценок (способы уменьшения дисперсии)
3.1.2. Интегрирование по части области.
3.1.3. Интегрирование по части переменных (понижение порядка интеграла).
3.2. Метод существенной выборки.
3.3. Симметризация подынтегральной функции.
3.3.2. О сложной симметризации.
3.4. Двухэтапные схемы расчета.
§ 4. Интегралы, зависящие от параметра
4.2. Вспомогательная теорема о погрешности простейшей квадратурной формулы.
4.3. Оценка погрешности метода Монте-Карло с помощью распределения w2.
4.4. Численное дифференцирование оценки (51).
4.5. О таблицах случайных чисел.
Упражнения к главе 3
ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ)
§ 1. Методы Монте-Карло с повышенной скоростью сходимости
1.2. Оценки с повышенной скоростью сходимости.
1.3. Сравнение с квадратурными формулами.
§ 2. Случайные квадратурные формулы
2.2. Некоторые свойства интерполяционных квадратурных формул.
2.3. Случайные интерполяционные квадратурные формулы.
§ 3. Использование смещенных оценок
3.2. Простейший метод Монте-Карло с поправочным множителем.
3.3. Численный пример.
Упражнения к главе 4
ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.2. Вычисление линейных функционалов от итерированных функций.
1.3. Вычисление значений итерированных функций.
1.4. Случайные траектории с поглощением.
1.5. Сравнение точности оценок (8) и (20).
§ 2. Неоднородные интегральные уравнения
2.2. Оценка линейных функционалов от
2.3. Метод существенной выборки для траекторий
2.4. Оценка линейных функционалов от z.
2.5. Сравнение точности оценок (38) и (11).
2.6. Использование сопряженного уравнения.
2.7. Усложненные оценки линейных функционалов от z.
§ 3. Пример: рассеяние частиц
3.2. Использование истинных траекторий.
3.3. Использование искусственных траекторий.
3.4. Существенная выборка.
3.5. Рассеяние в области G.
§ 4. Однородные интегральные уравнения
4.2. Метод существенной выборки для траекторий
4.3. О других методах расчета
4.4. Пример: интегральное уравнение Пайерлса.
§ 5. Решение линейных алгебраических систем
5.2. Случайная цепь для решения алгебраической системы.
5.3. Вычисление одной компоненты решения.
5.4. Обращение матрицы.
5.5. Решение дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона.
5.6. Случай очень большого числа переменных.
Упражнения к главе 5
ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Моделирование путем имитации
1.2. Задача о размножении нейтронов.
1.3. Системы массового обслуживания.
1.4. Расчет вероятностных характеристик сложной случайной величины.
§ 2. Моделирование свободного пробега
2.2. Моделирование свободного пробега нейтрона.
2.3. Моделирование свободного пробега заряженной частицы.
§ 3. Использование статистических весов
3.2. Веса, учитывающие вылет из области G0.
3.3. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и учитывающие вылет из области G0.
3.4. Различные статистические веса.
3.5. Статистические веса и существенная выборка.
3.6. Метод подобных траекторий.
3.7. Векторные веса.
§ 4. Статистические веса и интегральные уравнения
4.2. Плотность первых столкновений.
4.5. Веса, учитывающие вылет, как метод решения интегрального уравнения.
4.6. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и учитывающие вылет, как метод решения интегрального уравнения.
4.7. Веса п. 3.3 при решении уравнения Пайерлса.
Упражнения к главе 6
ГЛАВА 7. НЕСЛУЧАЙНЫЕ ТОЧКИ В АЛГОРИТМАХ МОНТЕ-КАРЛО
§ 1. Конструктивная размерность алгоритмов Монте-Карло
1.1. Алгоритмы с конечной конструктивной размерностью.
1.2. Алгоритм с бесконечной конструктивной размерностью.
§ 2. n-мерные псевдослучайные точки
2.2. Геометрическая характеристика равномерно распределенных последовательностей.
2.3. Ускорение сходимости.
2.4. «Хорошие» псевдослучайные точки.
2.5. Замечание о роли дисперсии.
§ 3. Поиски «универсальных» псевдослучайных чисел
3.2. Вполне равномерно распределенные последовательности чисел.
3.3. Асимптотически вполне равномерно распределенные последовательности чисел.
§ 4. Проверка псевдослучайных чисел с детерминистической точки зрения
4.2. Многомерные критерии.
4.3. О системах тестов.
Упражнения к главе 7
ГЛАВА 8. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Интерполирование функций от большого числа переменных
1.2. Метод Монте-Карло.
§ 2. Простейший случайный поиск
2.2. ЛП-поиск.
2.3. Поиск в произвольной конечной области.
§ 3. Решение уравнения Лапласа
3.2. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
§ 4. Вычисление винеровских интегралов
4.2. Приближенное построение броуновских траекторий.
4.3. Замена континуального интеграла многомерным.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА