Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Моделирование свободного пробега нейтрона.

2.2.1. В однородной среде.

Так как во время пробега энергия нейтрона не меняется, то полное сечение постоянно: Из уравнения (6) следует

и метод обратных функций позволяет записать явную формулу для расчета

Легко вычислить, что средняя длина свободного пробега Если в качестве единицы длины выбрать , то у средних длин свободного пробега.

2.2.2. В кусочно однородной среде (метод обратных функций).

Мы рассмотрим случай, когда интересующая нас область пространства G состоит из конечного числа однородных областей. Именно такова геометрия большинства задач, встречающихся на практике. В то же время очевидно, что всякую неоднородную среду можно с любой точностью аппроксимировать такой кусочно однородной средой.

Рис. 60.

Поверхности, являющиеся границами областей, как правило, не сложнее, чем поверхности второго порядка: плоские, сферические, цилиндрические, конические. Поэтому не представляет труда найти аналитически пересечение любого луча с любой из этих поверхностей.

Рассмотрим простейший (по своей логике) алгоритм для расчета свободного пробега в такой среде, разработанный автором в 1955 г. В качестве иллюстрации выберем область G, представляющую собой трехслойный конечный цилиндр с «крышкой» в форме полусферы. Сечение G плоскостью изображено на рис. 60, где цифры означают номера различных областей. В этом примере шесть граничных поверхностей:

Пусть нейтрон вылетает из точки по направлению единичного вектора . Тогда уравнение запишется в виде

Чтобы решить это уравнение, находим пересечение луча со всеми граничными поверхностями, и все положительные значения s, соответствующие точкам пересечения, располагаем в порядке возрастания:

Вычисляем длину отрезков луча каждый из которых принадлежит одной области, и находим соответствующие этим областям значения , которые обозначим через

Обозначим через интегралы . Они легко вычисляются по формуле

Нетрудно доказать, что если

если же , то и нейтрон вылетает из области G.

Рис. 61.

В самом деле, легко видеть, что тогда и только тогда, когда . Уравнение (9)

в этом случае можно переписать в виде (рис. 61)

откуда сразу вытекает (11).

На рис. 62 изображен пример такого луча с указанием всех Легко заметить, однако, что пересечения здесь «лишние». Чтобы исключить «лишние» пересечения, можно, например, изменить определение граничных поверхностей, добавив к ним неравенства (одно или несколько), выделяющие действительный участок границы. В примере, изображенном на рис. 62, граничные поверхности запишутся так:

Определив точку пересечения луча с какой-нибудь из граничных поверхностей и получив положительное значение s, следует подставить координаты точки пересечения в соответствующие этой поверхности неравенства. Если координаты точки пересечения хотя бы одному из этих неравенств не удовлетворяют, то данная точка пересечения исключается (рис. 63).

Рис. 62.

Рис. 63.

Если количество граничных поверхностей в задаче велико, а фактические пробеги нейтронов малы, то такой алгоритм невыгоден; каждый раз пришлось бы вычислять очень много пересечений, хотя в действительности каждый нейтрон пересекает лишь одну-две поверхности. Для построения более экономного алгоритма в [46] предлагается разбить граничные поверхности на элементарные граничные поверхности, каждая из которых разделяет две области. В нашем примере (рис. 60) окажется 10 таких поверхностей (в скобках

указаны индексы поверхности, т. е. номера областей, которые эта поверхность разделяет):

Если, например, исходная точка принадлежит области 3, то надо найти пересечения луча только с теми элементарными граничными поверхностями, в индексах которых фигурирует 3. Если область 3 выпуклая, то такая точка пересечения будет единственной; в общем случае выбираем точку пересечения с наименьшим 5, превосходящим которое и назовем . Второй индекс пересекаемой поверхности показывает, в какую область переходит нейтрон и т. д.

В примере, изображенном на рис. соответствует точке пересечения луча с поверхностью 2, а нейтрон переходит в область 2. Затем находим пересечения луча со всеми элементарными поверхностями, в индексе которых имеется 2, и отбираем пересечение, которому отвечает наименьшее s, превосходящее Таким образом, получим значение соответствующее первому пересечению луча с поверхностью и номер следующей области — 1.

Конечно, условия входящие в (11), следует проверять постепенно, по мере нахождения

2.2.3. В произвольной среде (метод постоянного сечения).

В последние годы широкое распространение получил совсем другой метод моделирования пробегов в сложной среде, предложенный, по-видимому, Е. Р. Вудкоком. Кусочная однородность среды при этом не предполагается.

Выберем произвольную постоянную , и обозначим через разность . Условимся

тать, что при столкновении нейтрона с ядрами, кроме реакций, входящих в , возможна еще одна — фиктивное столкновение, при котором ни энергия, ни направление движения нейтрона не меняются. Сечение фиктивного столкновения будем считать равным Если (ср. пример гл. 2, п. 1.2.2) , то вероятности соответствующих реакций в условной задаче равны , а вероятность фиктивного столкновения равна Пробеги в этой задаче легко вычисляются по формуле (8)

а тип столкновения разыгрывается с учетом всех четырех возможностей. Ниже доказано, что сумма таких пробегов до первого нефиктивного столкновения подчиняется тому же закону распределения (6), что истинный случайный пробег.

Теорема 1 ([112]). Рассмотрим нейтрон, вылетающий из точки по направлению оси и подчиняющийся законам условной задачи Обозначим через координату первого нефиктивного столкновении. Тогда функция распределения выражается формулой (6)

Доказательство. Обозначим через v случайное количество фиктивных столкновений в интервале ) и рассмотрим случай . Выберем произвольные числа удовлетворяющие неравенствам

Вероятность того, что фиктивные столкновения окажутся в окрестностях точек , а первое нефиктивное столкновение — в окрестности точки равна (ср. (15) гл. 5)

Проинтегрировав эту вероятность по всем возможным

таким, что , получим вероятность

Все внутренние интегралы легко вычисляются. Если ввести обозначение , то (заменив на ) можно будет записать результат в виде

Отсюда следует, что

что и требовалось доказать.

Так как при увеличении а количество фиктивных столкновений возрастает то обычно стараются выбрать минимально возможное значение, т. е. . Некоторые другие применения метода постоянного сечения указаны в работах [152, 169].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление