Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Замечание о роли дисперсии.

В расчетах, выполненных по точкам , фактическая ошибка часто оказывается на порядок меньше вероятной.

Пример. Рассмотрим значения при приведенные в табл. 1 гл. 5 (стр. 192). Условимся считать последнее значение, соответствующее точным. Фактические ошибки выписаны в табл. 4. Рядом приведены вероятные ошибки где дисперсия Очевидно, заметно меньше, чем

Таблица 4

Не следует думать, что если дисперсия не определяет ошибку, то все приемы гл. 3, 4, направленные на уменьшение дисперсии, теряют смысл. Во-первых, алгоритмам с меньшей дисперсией отвечают функции Ф с меньшим изменением, которые, вообще говоря, интегрируются лучше.

Простейший результат в этом направлении для случая можно получить с помощью формулы (48) гл. 3, стр. 129. В самом деле, для любой функции класса

где можно считать, что

Как доказано в [78], если то дисперсия случайной величины удовлетворяет неравенству

Фиксируем числа . Из (17) видно, что для тех функций, для которых L меньше, погрешность интегрирования будет меньше. Но таким функциям, согласно (18), соответствуют также меньшие значения дисперсии.

Во-вторых, алгоритмам с меньшей дисперсией часто отвечают более гладкие функции Ф, удовлетворяющие оценке (14). Например, при расчете задачи о поглощении нейтронов методом п. 1.1 гл. 6, осредняемая функция может принимать лишь два значения: 0 и 1. Нетрудно убедиться в том, что ее разрывы не параллельны координатным гиперплоскостям. А при расчете той же задачи методом п. 3.3 (гл. 6), осредняемая функция непрерывна и даже дифференцируема.

Вообще говоря, можно ожидать большего ускорения сходимости за счет использования детерминированных псевдослучайных чисел тогда, когда используются более совершенные алгоритмы метода Монте-Карло.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление