Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Траекторию предыдущего пункта можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле (гл. 5, п. 5.5). Пусть на границе области G задана ограниченная функция Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри G уравнению (7) и обращающееся в при

Рис. 72.

Фиксируем достаточно малую окрестность границы Чтобы вычислить будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадает в Пусть ближайшая к точка границы Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно Построив N траекторий такого типа, получим значения по которым оценивается искомое решение

Заметим, что сходимость по вероятности

когда не вытекает из теоремы Хинчина (стр. 87), ибо в сумме (8) фигурируют N различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел — теоремой Чебышева:

Если величины независимы и существуют

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине неравенство Чебышева, стр. 141),

В нашем случае все а дисперсии где . В самом деле, как известно [88], максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех

Такой метод расчета считается более быстрым, чем метод п. 5.5 гл. 5, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы Впрочем, аккуратного численного сравнения этих методов автор не видел.

Изложенный метод был предложен Дж. Брауном [6] и обоснован М. Мюллером [162], который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в равна нулю. Дальнейшее развитие метода — организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина) — имеются в работах [28, 30, 65].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление