Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Вычисление винеровских интегралов

Решения многих задач теории вероятностей, статистической и квантовой физики, теории дифференциальных уравнений могут быть выражены через так называемые континуальные интегралы [16]. Вычисление континуальных интегралов классическими методами весьма сложно, хотя некоторые «квадратурные» формулы для этого имеются [12, 123]. Методы Монте-Карло для расчета таких интегралов были, по-видимому, впервые использованы в работе И. М. Гельфанда и Н. Н. Ченцова [15].

4.1. Винеровские интегралы.

Чаще других встречаются континуальные интегралы по мере Винера, называемые обычно винеровскими интегралами:

где С — пространство всех непрерывных на отрезке функций удовлетворяющих начальному условию - произвольный непрерывный и ограниченный функционал, заданный на С.

При определении меры Винера здесь, как и в [16], коэффициент диффузии D полагается равным 1/4: этого всегда можно добиться изменением масштаба времени. Пусть координата

частицы, совершающей броуновское движение вдоль оси начинающееся из точки . Если то плотность вероятностей равна

Рассмотрим случайную траекторию частицы, совершающей броуновское движение, с начальным условием (такую траекторию называют также винеровским процессом [71]). Тогда математическое ожидание случайной величины равно интегралу

Отсюда вытекает простейший метод Монте-Карло для расчета интеграла (9)

где — независимые реализации броуновской траектории

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление