Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Приближенное построение броуновских траекторий.

Укажем два способа приближенной реализации таких траекторий. В обоих способах отрезок делится на равных частей абсциссами

разыгрываются случайные значения траектории и полученные точки на плоскости соединяются отрезками прямых (рис. 73).

Рис. 73.

Построенная ломаная и есть приближенная броуновская траектория.

В приведенных ниже расчетных формулах это независимые нормальные случайные величины с параметрами

Первый способ основан непосредственно на определении броуновского движения: так как условное распределение при известном значении нормально с параметрами то при

Формула (12) с начальным условием позволяет разыграть все значения

Второй способ [14, 48] основан на том, что если значения известны, то условное распределение значения также нормально с параметрами

Пусть . Используя условие можно разыграть значение (это фактически формула (12) при затем разыгрывать остальные значения в серединах отрезков:

Численный пример [8]. Вычислить вииеровский интеграл, точное значение которого известно:

где

Случайные траектории будем строить вторым способом при . Расчетные формулы:

Значение функционала на ломаной вычисляется точно: на каждом отрезке можно воспользоваться формулой

которая точна для функций линейных на Получим расчетную формулу

Результат расчета, выполненного в [8] при случайно оказался исключительно хорошим:

В самом деле, так как

то при вероятная ошибка (именно такой порядок имеет погрешность, если взять всего девять из сосчитанных десяти траекторий). Кроме статистической ошибки из-за малого значения N, возможна еще ошибка от замены траекторий ломаными, т. е. из-за малости .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление