Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Метод Неймана [163].

Этот метод очень часто используется на практике. Иногда все методы отбора называют методом Неймана.

Рассмотрим случайную величину определенную на конечном интервале с ограниченной плотностью (рис. 30).

Рис. 29.

Рис. 30

Теорема 6. Пусть и независимые случайные числа и Случайная величина определенная условием

имеет плотность вероятностей, равную

Доказательство. Во-первых, заметим, что точка равномерно распределена в прямоугольнике (см. п. 2.1). Далее вычислим условную вероятность:

Знаменатель последнего выражения — это вероятность попадания точки под кривую Так как плотность точки постоянна и равна , то

Числитель равен вероятности того, что точка окажется под кривой и в то же время

Таким образом, получаем, что

а это как раз и требовалось доказать.

Эффективность метода (39), согласно (37), равна вероятности попадания точки под кривую Последняя вероятность уже вычислялась в ходе доказательства теоремы. Значит,

эффективность метода Неймана будет наибольшей, если выбрать наименьшее возможное с, т. е. положить Впрочем, это очевидно также из геометрических соображений.

Пример. Случайная величина определена при с плотностью

Согласно теореме 6 нужно выбрать два значения и вычислить если , то . Однако условие в данном примере выгодно преобразовать: оно равносильно условию После дальнейших упрощений окончательно запишем:

Эффективность этого метода По сравнению с формулой полученной в п. 3.2.1, формула метода отбора проще: не надо извлекать корень и вычислять косинус.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление