Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Вспомогательная теорема о погрешности простейшей квадратурной формулы.

Допустим, что для приближенного вычисления интеграла

используются V фиксированных точек принадлежащих интервалу (0, 1), и простейшая формула

Погрешность такого приближения зависит от функции

Обозначим через множество непрерывных функций с кусочно непрерывными производным» такими, что

По сравнению с § 2 здесь мы сужаем класс подынтегральных функции: там требовалось только, чтобы , а здесь —

Обозначим через количество точек с номерами удовлетворяющих неравенству Нетрудно проверить, что

и представляет собой ступенчатую функцию (рис. 11).

Теорема 5. Каковы бы ни были точки верхняя грань погрешности (43) равна

Доказательство. Функция может быть выражена через свою производную

Рис. 44.

Полагая здесь и суммируя по получим, j что

С другой стороны, интегрируя по частям, легко получить, что

Вычитая последнее равенство из предпоследнего, получим формулу для погрешности

Из формулы (46), используя неравенство (1) (стр. 292) и условие (44), выводим, что если , то

эта величина как раз фигурирует в (45).

Осталось доказать неулучшаемость последнего неравенства. Для этого рассмотрим функцию

Так как . Подставив в (46), получим, что

Таким образом, теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление