Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Использование смещенных оценок

Все указанные в гл. 3 и 4 оцеки интеграла

представляют собой несмещенные оценки: Большинство авторов включают условие несмещенности даже в определение случайной квадратурной формулы (20), требуя, чтобы для всех . И мы отдали дань этой традиции в гл. 3, п. 2.4.

Однако, как указано в гл. 3, п. 1.7, при больших N (когда количество используемых значений ) велико) для практических целей достаточно требовать только, чтобы оценка была состоятельной: . В самом деле, обычно порядок дисперсии и вероятная ошибка оказывается . В тех случаях, когда смещение ясно, что при больших N порядок ошибки определяется величиной Гц, а не смещением.

3.1. Взвешенная равномерная выборка.

Предположим, что нам удалось найти допустимую по отношению к плотность приближенно пропорциональную . Д. Хэндскомб [137] предложил в качестве оценки интеграла по конечной области G

использовать величину

где - независимые случайные точки, равномерно распределенные в

Естественно сравнить оценку (36) с оценкой метода существенной выборки, где рекомендуется использовать такую же плотность Согласно п. 3.2.1 гл. 3 получаем оценку

где независимые реализации случайной точки Q с плотностью Сразу видно, что при сложных расчет по формуле (36) гораздо проще, так как не требуется разыгрывать точки Q с этой плотностью

Предположим, что Тогда по теореме Хинчина (стр. 87) величина а величина когда объем области G). Следовательно, по известному свойству сходимости по вероятности, величина также сходится по вероятности к так что оценка состоятельна.

Оценка (36) исследовалась в работе М. Поуэлла и Дж. Свэпна [164]. При некоторых предположениях относительно удалось доказать, что, когда

, дисперсия

а смещение

Легко видеть, что если , то главные члены в обращаются в нули (ср. с методом существенной выборки).

Пример. Вычислить интеграл . Пусть . Оценка (36) при равна

Главный член дисперсии в этом примере легко вычисляется:

в то время как для простейшего метода

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление