Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3. Вычисление значений итерированных функций.

Мы укажем три способа оценки

Траектории с фиксированной начальной точкой. Формально, для того чтобы вычислить значение в точке можно выбрать , где — дельта-функция Дирака. Тогда из (7) вытекает, что

Выбор в качестве начальной плотности дельта-функции означает, что начальная точка фиксирована: . Сократив в , можно переписать (7) в виде

Итак, если все N траекторий начинать с фиксированной точки то

где индекс s имеет тот же смысл, что в (8). Конечно, формулу (9) можно вывести не прибегая к помощи дельта-функции, а рассматривая лишь траектории, начинающиеся из точки и их плотность.

Изложенный метод, очевидно, неудобен, если нужны значения во многих точках, ибо из каждой такой точки пришлось бы строить «свои» N траекторий. Следующие два способа позволяют исиользовать одни и те же траектории для оценки во многих точках.

1.3.2. Средние значения по области. Обозначим через индикатор произвольной области

Пусть -произвольная «весовая» функция. Если в формуле (7) положить то

Формула (11) позволяет по N траекториям вида оценить среднее значение с весом по любой области В:

так как стоящий в числителе интеграл

Наличие справа величины имеет простой смысл: суммируются , но только по тем траекториям, для которых начальная точка

Конечно, надо иметь в виду, что если область В очень мала, то в (12) окажется очень мало слагаемых, отличных от нуля, и точность такого метода расчета будет невысокой.

Обозначим интересующую как функцию через Метод настоящего пункта позволяет вместо значении и в заданных точках вычислить средние значения по некоторым областям содержащим соответствующие точки Оценить погрешность такого приближения нетрудно, если по полученным значениям

можно составить себе представление о поверхности Например, пусть вместо значения мы вычислили среднее значение

Если , то ошибка приближенно равна

Оценка коэффициентов Фурье. Выберем в качестве в (7) несколько ортонормированных так что

Здесь символ Кронекера: при Формула (7) позволяет оценить коэффициенты Фурье функции относительно

Если система функции выбрана достаточно разумным образом, то

и, вычислив приближенные значения

получим приближение (13) для во всей области. 1.4.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление