Главная > Математика > Численные методы Монте-Карло
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Неоднородные интегральные уравнения

2.1. Постановка задачи. Ряд Неймана.

Рассмотрим интегральное уравнение

которое с учетом (1) можно записать в виде

Здесь - искомая функция, - заданная функция, называемая ядром уравнения, - заданная функция (свободный член).

Предположим, что . Можно попытаться искать решение методом последовательных приближений. Пусть - произвольная функция из . Пусть далее при

Нетрудно вычислить, что

Последовательные приближения сходятся при к решению уравнения (25) тогда и только тогда, когда это решение представимо в виде ряда Неймана

Условия сходимости ряда Неймана имеются, например, в [63].

В частности, если

то ряд (28) сходится в среднем:

Если, кроме того, для всех

то ряд (28) сходится абсолютно и равномерно в В.

Лемма. Если ряд (28) сходится в среднем, то для любой функции из

Доказательство. Рассмотрим разность

Из неравенства (1) на стр. 292 следует, что

когда

Формулы (27) и (28) показывают, что вычисление или 2 сводится к вычислению суммы итерированных функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление