Главная > Физика > Дисперсионные теория сильных взаимодействий при низких энергиях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.2. Унитарность.

Применим теперь условие двухчастичной унитарности

к амплитуде рассеяния, записанной в виде (8.1). Из (8.1) вытекает, что при фиксированном s амплитуда может быть представлена в виде

где

Переходя с помощью подстановки

от переменных к переменным , получаем

Внося представление (8.6) в правую часть условия унитарности (7.11), находим

где

причем

Вычисляя этот интеграл в явном виде, получаем

Мы выбрали ветвь логарифма, не имеющую мнимой части для физических значений при При нефизических значениях выражение в правой части (8.8) становится комплексным.

Используем его для аналитического продолжения в нефизическую область, подставив (8.8) в

При выражение (8.9) становится комплексным, и мы можем вычислить скачки функции а следовательно, и на разрезах в плоскости комплексной переменной z, т. е. определить спектральные функции, поскольку согласно (8.1) при s > 4

Вычисление мнимой части (см. Приложение 2) дает при и выполнении условий:

Рассмотрим первую область, . Возвращаясь к инвариантным переменным, получаем

где

Выполняя во втором слагаемом в правой части замену переменных интегрирования с помощью (8.5) представим в виде

(смысл верхнего значка ) станет ясен из дальнейшего).

Рассмотрим теперь область определения спектральной функции фиксируемую областью интегрирования в правой части (8.10).

Ввиду очевидной симметрии по переменным t и u изучим только первый интеграл. Область интегрирования в нем определяется условиями

Рис. 17.

Из (8.11) и (8.9) вытекает, что область, в которой отлична от нуля, ограничена кривой, описываемой уравнением

что дает гиперболу

с асимптотами . Эта область изображена на рис. 17 как .

Перейдем ко второй области, Для нее получаем

Возвращаясь к инвариантным переменным и делая подстановку — для членов с а также , находим

Не составляет труда убедиться в том, что это выражение определяет спектральную функцию в области, ограниченной гиперболой

Эта область на рис. 17 отмечена символом Полученная картина аналогична нерелятивистскому случаю, разобранному в главе 1.

Для системы соотношений, состоящих из (8.10), (8.13) и формулы

напрашивается итерационный способ решения, основанный на использовании низкознергетической спектральной плотности в качестве первого приближения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление