Главная > Физика > Дисперсионные теория сильных взаимодействий при низких энергиях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Приближение эффективного радиуса.

Представление Мандельстама (2.29) определяет также аналитические свойства парциальных волн как функций переменной . Проинтегрируем в (2.29) по z весом :

Здесь — функция Лежандра второго рода. Основные ее свойства; а) она аналитична в комплексной плоскости , разрезанной вдоль отрезка при

Следовательно, функция аналитична в плоскости с разрезами . Кроме того, при будет .

Заметим, что первый член в (2.35) ответствен за разрез , в то время как второй член дает разрезы , так как спектральная функция при обращается в нуль. Представим в виде

где функция обладает только левым разрезом , а функция — только правым, . В физической области функция может быть записана в виде

Отсюда очевидно, что

Последнее равенство легко преобразуется к виду

Здесь выбрана та ветвь функции Для которой при . Из формулы (2.38) следует, что аналитическая функция не имеет правого разреза, т. е. разреза на луче . Исходя из определения функций мы можем утверждать, что функция имеет только разрез обусловленный вторым ее слагаемым. Поэтому ее можно разлагать в ряд Тейлора в круге с центром в и радиусом сходимости Заметим теперь, что

или

Так как функция аналитична в том же круге, что и и при малых s в окрестности порога , то

Если ограничиться несколькими первыми членами разложения, то мы получим формулу, называемую «приближением эффективного радиуса» (Ландау, Смородинский (1944)). Ее можно получить при более слабых предположениях; например, достаточно потребовать убывания потенциала при больших , как . Вообще же «приближение эффективного радиуса» хорошо работает там, где область действия потенциала мала, и чем меньше эта область (больше ), тем шире область сходимости ряда (2.40) и тем меньшего числа членов достаточно, чтобы удовлетворительно описать парциальную амплитуду при низких энергиях. Кроме того, из выражения (2.35) видно, что и если достаточно велико (т. е. эффективный радиус действия мал), то высшие парциальные гармоники в низкоэнергетической области малы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление