Главная > Физика > Дисперсионные теория сильных взаимодействий при низких энергиях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19.3. Решение уравнения для формфактора и единственность решения.

Определим граничные значения аналитической функции

Тогда из условия унитарности (19.4) следует, что граничные значения связаны соотношением

т. е. функции имеют аргументы

Нижеследующий прием является стандартным в теории краевых задач (Гахов ). Рассмотрим функцию

Очевидно, что интеграл существует, если

Это ограничение несущественно, и его можно избежать, если наряду с и определить функцию

которая существует и для . Вычислим теперь разность граничных значений функции на верхнем и нижнем берегах разреза Видно, что

Отсюда следует, что функция вообще не имеет разрезов, т. е. является целой функцией комплексного переменного

где — целая функция t. Из определения и следует, что

Поэтому требование убывания на бесконечности автоматически приводит к тому, что — полином степени не выше наибольшего целого числа, меньшего . В уравнении (19.6) ограничение на степень полинома ослабляется, и она может быть на единицу выше степени полинома в решении уравнения (19.5).

Таким образом, общее выражение для электромагнитного формфактора -мезона в приближении двухчастичной унитарности имеет вид

Произвол в определении отсутствует только для фаз, у которых . В остальных случаях условие нормировки определяет только свободный член полинома . Попытки устранить эту неоднозначность не привели к успеху (Грашин ). Прежде чем обсуждать их, сделаем замечания относительно вида общего решения. Для широкого класса фаз рассеяния, определенного формулой

где — рациональная функция t, интеграл в (19.10) может быть вычислен аналитически с помощью теории вычетов, и формфактор равен (Исаев и др. )

где для — корни уравнения такие, что

и к — импульс -мезона в -системы.

Общее выражение (19.10) удобно для расчетов, однако важно получить и качественное представление о виде Для этого рассмотрим простой случай брейт-вигнеровского резонанса в р-волне , когда

Параметры и у определяют положение и ширину резонанса (р-мезона). Легко видеть, что функция имеет на разрезе фазу, совпадающую с фазой . При малых значениях у она обладает далеким полюсом в . Поскольку он расположен далеко от интересующей нас области малых энергий то, очевидно, влияние его на будет несущественным.

Тогда, повторяя все рассуждения, начиная с формулы (19.7) и до (19.10), с функцией вместо , получим

где с — нормировочная константа. Строго говоря, она является функцией t и имеет вид . Однако при зависимость от t несущественна. Конечно, выражение (19.13) можно получить и из общей формулы (19.12); указанный здесь способ его получения типичен для многих приложений дисперсионного метода.

Теперь можно составить представление о виде формфактора для случая резонансного поведения фазы. При малой ширине резонанса (р-мезон) функция для отрицательных значений t хорошо аппроксимируется простым полюсом:

Именно это свойство формфактора может вызывать физическое возражение.

Поскольку ширина пропорциональна константе связи р-мезона с -мезонами, то при выключении -взаимодействия естественно требовать

Условие (19.15) можно рассматривать как дополнительное требование к выбору полинома в общем выражении для формфактора (формула ). Однако оно оказывается недостаточным для однозначного выбора Более того, именно остающийся при этом произвол позволяет описать данные опыта. Так, вместо формулы (19.13), исходя из (19.6), можно получить

Очевидно, что выражение (19.16) удовлетворяет требованию (19.15). Фактически оно приводит к тому, что за счет произвольности параметра а можно добиться резкого возрастания в области резонанса. Тем самым возможное различие выражений (19.16) и (19.13) в области резонанса несущественно, если не считать дополнительного параметра а в формуле (19.16).

Условие обращения формфактора в единицу при выключении -взаимодействия выполняется для всех формфакторов, у которых полином содержит нуль, стремящийся к при . Очевидно, при этом все еще остается значительный произвол. Он связан с тем, что нулям не придается физической интерпретации. Поясним это на примере нерелятивистского упругого рассеяния. Нули матричных элементов -матрицы, т. е. функций соответствуют полюсам на втором листе римановой поверхности Е. Полюс, близко расположенный к действительной оси, вызывает резкое возрастание сечения и может трактоваться как связанное состояние сталкивающихся частиц с конечным временем жизни. Аналогичной интерпретации нулей формфактора не существует. Поэтому вопрос о наличии нулей формфактора решается путем сравнения исходных предположений с опытом. Так, в процессе присутствие нуля в вблизи резонанса не приведет к резкому возрастанию сечения, которого можно было бы ожидать при справедливости формулы (19.13).

Однако этот процесс сейчас еще не доступен прямому экспериментальному изучению, и для определения приходится прибегать к менее чувствительным реакциям. Характерное резкое возрастание в области резонанса (рис. 38) (отсутствие нуля) было впервые использовано в работе Фрэзера и Фулко (1960) по объяснению электромагнитной структуры нуклона (§ 28).

Рис. 38.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление