Главная > Химия > Электрохимические системы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Приложение Б. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ

Векторная запись уравнений переноса обладает несколькими преимуществами по сравнению со скалярной:

1. В векторных обозначениях уравнения становятся значительно более компактными.

2. В такой форме записи уравнения имеют смысл даже без конкретизации системы координат.

3. Легче воспринимается смысл уравнений (после того, как векторные обозначения станут привычными).

Векторные обозначения можно рассматривать как форму сокращенной записи, однако с самого начала полезно усвоить смысл некоторых более общих векторных операций.

Вектор характеризуется величиной и направлением. Его можно разложить на три составляющие по трем взаимно ортогональным направлениям:

Здесь через обозначены единичные векторы в направлениях осей

Дивергенция векторного поля равна

В других системах координат эта операция имеет иной вид (см. стр. 738—741 в работе [1]). Дивергенция вектора является скалярной величиной. Ее физический смысл легче всего понять из уравнения непрерывности (93-2):

Поток массы равен что определяет величину и направление массопереноса через единицу площади. Величина представляет скорость вытекания массы из точки, поэтому она и называется дивергенцией. В соответствии с этим величину можно было бы назвать конвергенцией потока массы

. Тогда уравнение непрерывности можно прочесть следующим образом:

Аналогичные уравнения сохранения или непрерывности встречались в других местах книги, например уравнения (69-3) и (71-1).

Ротор векторного поля есть другой вектор, определяемый как

Если v является скоростью течения жидкости, то величина называемая напряженностью вихрей, может рассматриваться как угловая скорость вращения (рад/с) элемента жидкости. Эта векторная операция встречается в механике жидких сред и в теории электромагнитного поля [уравнение (22-3)], в электрохимии же она используется редко.

Градиент скалярного поля есть вектор:

Градиент Ф характеризует изменение электрического потенциала от точки к точке; он равен электрическому полю с обратным знаком. Направление вектора совпадает с направлением наибыстрейшего изменения скаляра, а его величина дает скорость изменения скаляра в этом направлении. С другой стороны, градиент векторного поля образует тензор. Тензор имеет девять составляющих, поскольку необходимо описать скорость изменения каждой составляющей вектора в каждом из трех направлений:

По отношению к векторам тензор является оператором. При действии тензора на вектор получается другой вектор:

(тензор может действовать на вектор и справа, что записывается в виде однако в результате получается вектор, отличающийся от см. строку ) табл.

Обусловленное вязкими силами напряжение является тензором (разд. 94). Его девять составляющих описывают силы, действующие на поверхности с различной ориентацией:

где — единичный вектор нормали к поверхности и f — напряжение на поверхности. Уравнение движения ньютоновской жидкости с постоянными плотностью и вязкостью [уравнение (94-4)] есть векторное уравнение, в которое входит тензор Проекции этого уравнения на оси прямоугольной системы координат имеют вид

В работе [1] можно найти записи этого уравнения и других, часто используемых нами, в различных системах координат.

Некоторые определения и тождества приведены в табл. Векторы обозначены жирными латинскими буквами, а тензоры — жирными греческими. Осям прямоугольной системы координат присвоены индексы 1, 2 и 3, так что и т. д. Суммирование проводится по индексам 1, 2 и 3.

Таблица 5-1

(см. скан)

Продолжение табл. Б-1. (см. скан)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bird R. В., Stewart W. Е., Lightfoot Е. NTransport Phenomena, J. Wiley and Sons, New York, 1960.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление