Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций

102. Четность и нечетность.

Напомним (см. п. 33), что функция называется четной, если для всех допустимых значений аргумента имеет место тождество

Функция называется нечетной, если для всех допустимых значений аргумента имеет место тождество

Для тригонометрических функций справедлива следующая

Теорема. Функции являются четными, т. е.

а функции являются нечетными, т. e.

Доказательство. Рассмотрим два угла, образованных единичным радиусом-вектором . Заметим, что абсцисса точек Е и одна и та же .

Рис. 101.

Согласно второй формуле (97.11) имеем , следовательно,

Так как равенство (102.1) справедливо для любого угла а, то мы доказали, что .

Четность (см. формулу (99.4)) доказывается так:

Итак,

Заметим, далее, что ординаты точек Е и противоположны по знаку . Согласно первой формуле (97.11) имеем , следовательно,

Используя формулу (99.2), а также тождества (102.1) и (102.3), получим

Итак,

Для доказательства нечетности ctga воспользуемся тождествами (99.6) и (102.4):

Итак,

Рекомендуем читателю доказать, что справедливо и тождество

Пример. Найти значения тригонометрических функций угла а

Решение. Используя нечетность функций , получим

Используя четность функций , получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление