Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

132. Функция y = arctg x (арктангенс).

Рассмотрим функцию . Область определения этой функции — вся ось за исключением точек вида где и область изменения значений — вся ось Об обратной функции (по отношению к функции ) можно уже говорить для всей оси Задача нахождения из уравнения и здесь имеет бесчисленное множество решений. На рис. 131 видно, что существует бесконечно много значений аргумента таких, что где .

Для того чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции у достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси на котором она монотонно возрастает. Функция монотонно возрастает от до например, на интервале и вообще на любом интервале вида где . В качестве интервала оси на котором рассматривается функция у и обратная к ней функция, берут обычно интервал На этом интервале функция монотонно возрастает, принимая все значения от до

Следовательно, для любого , лежащего на оси найдется, и притом только одно, значение из интервала такое, что т. е. для функции на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать так:

Рис. 131.

Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:

Рис. 132.

Пример 1. Найти

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от до тангенс которого равен

Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен например: и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале Таким аргументом будет Итак,

Пример 2. Найти

Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим

График функции симметричен с графиком функции относительно биссектрисы координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).

Свойства функции вытекают из соответствующих свойств функции на интервале и видны из графика на рис. 132. Перечислим эти свойства:

1) Область определения: х — любое действительное число.

2) Область изменения: интервал

3) Функция нечетная:

4) Функция монотонно возрастающая.

5) График пересекает оси в начале координат.

6) при при .

7) Прямые - горизонтальные асимптоты графика.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление