Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

146. Способ разложения на множители.

1) Если в уравнении, приведенном к виду , его левая часть f(x) разлагается на множители, то, как указано в п. 54, следует приравнять каждый из этих множителей к нулю. Получится несколько отдельных уравнений; корни каждого из них будут корнями основного уравнения, если только они входят в каждого из множителей левой части уравнения.

Все полученные решения объединяются в одну совокупность решений первоначального уравнения. Заметим, что этот способ мы уже фактически применяли при решении примеров 9 и 11 из п. 145.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Согласно предыдущему будем искать отдельно решения двух уравнений: Первое уравнение имеет корни Второе уравнение имеет корни Проверка показывает, что решениями первоначального уравнения будет лишь совокупность значений , а значения не удовлетворяют данному уравнению, ибо при теряет смысл второй множитель

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем это уравнение следующим образом:

Применив формулу (125.2), получим

откуда

Последнее уравнение распадается на два уравнения:

Первое уравнение имеет корни

Второе уравнение имеет корни Все найденные значения являются корнями заданного уравнения.

2) Рассмотрим уравнения типа:

где — любые действительные числа, отличные от нуля, причем и . Покажем прием решения такого типа уравнений.

Запишем это уравнение в виде . Применив к левой части формулу (125.2), будем иметь

Последнее уравнение распадается на два:

Решения этих уравнений имеют вид

Эти же решения будут и решениями уравнения (146.1).

Решите это уравнение самостоятельно с помощью формулы (125.4) и убедитесь, что его решения имеют вид

Решите самостоятельно также уравнение

Запишем это уравнение в виде Одну из функций, например заменим по формуле приведения на Уравнение (146.3) примет вид откуда получаем

Последнее уравнение распадается на два:

Решения этих уравнений имеют соответственно вид

Заметим, что полученные формулы решений запоминать не следует (нужно только понять сам прием).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Запишем данное уравнение в виде

Применив к левой части формулу (125.2), будем иметь

Последнее уравнение распадается на два:

Решения этих уравнений будут иметь вид

Все эти решения являются решениями данного уравнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление