Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)

205. Определение гомотетичных фигур.

Для произвольного плана той или иной местности, для фотографии, сделанной с чертежа, для репродукции с картины художника, для модели корабля и т. п. характерно, что они похожи на оригинал в том смысле, что верно передают форму предмета, но с изменением его размеров в определенное число раз. По такому изображению мы легко судим о натуре: подлинные размеры восстанавливаются умножением на некоторый определенный постоянный множитель k (масштаб изображения), углы могут быть измерены непосредственно, они не претерпевают изменения по сравнению с натурой.

В геометрии преобразование фигур такого характера называется преобразованием подобия. Точное определение мы дадим несколько ниже.

Рис. 263.

Рассмотрим какую-либо фигуру, расположенную в данной плоскости (на рис. 263 взят треугольник ABC с проведенной в нем медианой СМ), и произвольную точку О, лежащую в той же плоскости. Проведем из точки О лучи, соединяющие ее со всеми точками данной фигуры. Выберем затем некоторое положительное число k и каждой точке данной фигуры поставим в соответствие новую точку по следующему методу. Пусть А — одна из точек данной фигуры. На луче О А строим точку А такую, что , т. е. отстоящую от начала луча в k раз дальше, чем А («дальше» превратится, по существу, в «ближе», если k < 1). На рис. 263 мы взяли . Проделав эту операцию с каждой точкой, получим новую фигуру. Пока мы изобразили ряд ее точек, отвечающих вершинам треугольника и середине его стороны АВ.

Строго говоря, мы еще не знаем, будут ли точки, лежащие до преобразования на одной прямой (например, В, М, А), лежать на одной прямой после преобразования. На этот и другие сходные вопросы мы вскоре дадим ответ, а пока введем необходимые определения.

Определение. Преобразование фигуры, при котором каждой ее точке А ставится в соответствие точка А, лежащая на луче, соединяющем А с некоторой выбранной фиксированной точкой О, и такая, что ОА и ОА находятся в заданном постоянном отношении

называется преобразованием подобия (гомотетией) первого рода с центром О и коэффициентом подобия k.

Если k < 1, то точки фигуры приближаются к центру; если k > 1, то удаляются от него. Если k = 1, то фигура совершенно не изменяется, все ее точки остаются на месте: формально можно считать, что она претерпевает тождественное преобразование.

Можно также строить точки преобразованной фигуры не на лучах, ведущих в них из О, а на продолжениях этих лучей (рис. 264).

Рис. 264.

Рис. 265.

Такое преобразование, в отличие от описанного ранее, называют преобразованием подобия второго рода. Удобно считать, что в этом случае коэффициент подобия равен отрицательному числу: k < 0; такое условие выглядит естественно, так как мы привыкли, что изменение знака связано с изменением направления на прямой, и позволяет не различать преобразований подобия первого и второго рода, говоря просто о преобразованиях подобия с коэффициентом k (положительным или отрицательным). Не исключается случай, когда центр подобия сам принадлежит данной фигуре, как одна из ее точек (рис. 265); в этом случае по определению полагают, что образ О точки О совпадает с О.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление