Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Часть первая. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Действительные числа. Координаты

1. Натуральные числа.

Натуральные числа выражают количество подлежащих счету однотипных или неоднотипных предметов; таковы, например, числа один, два, десять, двадцать, сто, двести пятьдесят шесть, тысяча и т. д.

Понятие натурального числа относится к простейшим, первоначальным понятиям математики и не подлежит определению через другие, более простые понятия.

Натуральные числа могут быть естественным образом расположены по их возрастанию: каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы. Записанные в порядке возрастания:

натуральные числа образуют натуральный ряд. Многоточие показывает возможность неограниченного продолжения этого ряда. В этом смысле говорят, что имеется бесконечное множество натуральных чисел. Единица — наименьшее натуральное число; наибольшего числа натуральный ряд не имеет.

Напомним принцип записи натуральных чисел в десятичной системе счисления при помощи десяти цифр

Цифры, участвующие в записи числа, при чтении их справа налево указывают последовательно, сколько в данном числе содержится единиц, затем десятков, сотен, тысяч и т. д. Вообще, цифра, стоящая на месте, считая справа, покажет, сколько данное число содержит единиц разряда .

Так, например,

и, в общей форме, для m-значного числа :

где — цифры, при помощи которых число записывается в виде (здесь черта сверху ставится, чтобы не смешивать число с произведением чисел ).

Замечание. Десятичная система счисления — не единственно возможная. В древности (в Вавилоне) использовалась система счисления, в которой, наряду с десяткой, в основу было положено число 60 (шестидесятеричная система счисления). Ее влияние сохранилось до сих пор в делении часа на 60 минут, окружности на 360 градусов и т. д. В настоящее время при использовании электронных вычислительных машин, в процессе программирования применяются двоичная и восьмеричная системы счисления. Приведем для примера запись нескольких чисел в троичной системе. В этом случае используем только три цифры 0, 1, 2 в их обычном смысле. Число 3 в троичной системе играет роль десятки в десятичной системе счисления и должно обозначаться как 10. Вместо будем писать 100 и т. д. Вот запись нескольких чисел в десятичной и троичной системах счисления:

Десятичная система Троичная система

В дальнейшем мы будем пользоваться исключительно десятичной системой счисления.

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня и т. д. Первые четыре из этих действий называют арифметическими или рациональными. Но только два из них — сложение и умножение — безусловно выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел суть снова натуральные числа.

Сформулируем законы, которым подчиняются действия сложения и умножения; строгие определения этих действий и обоснование их свойств (выводимых из небольшого числа аксиом) рассматриваются в теоретической арифметике и здесь опускаются.

Переместительный (или коммутативный) закон сложения:

от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Переместительный (или коммутативный) закон умножения:

от перестановки сомножителей произведение не изменяется. В дальнейшем, по большей части, в записи произведения точку опускаем и пишем просто

Сочетательный (или ассоциативный) закон сложения:

- сумма не зависит от группировки слагаемых.

Этот закон позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок. Например:

Сочетательный? (или ассоциативный) закон умножения:

- произведение не зависит от группировки сомножителей.

Этот закон позволяет писать произведение нескольких сомножителей без скобок. Например:

Распределительный (или дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

Этот закон лежит в основе правила раскрытия скобок, которым часто пользуются в вычислениях и преобразованиях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление