Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

214. Пропорциональные отрезки в круге.

Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения — просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива

Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:

Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.

Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:

Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).

Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,

Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.

Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим

или

что и требовалось доказать.

Рис. 289.

Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.

Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:

Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.

Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление