Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21. Бином Ньютона.

Под биномом Ньютона понимают формулу, дающую выражение степени двучлена с любым натуральным показателем . Мы можем записать выражения при (используя формулы п. 20 для квадрата и куба луммы):

Можно подметить некоторую закономерность: при возведении бинома в степень в правой части формулы получается сумма слагаемых; каждое слагаемое содержит множители а и b в степенях, сумма показателей которых равна степени бинома. Для произвольного натурального мы можем получить в правой части равенства, выражающего слагаемые вида с некоторыми числовыми коэффициентами.

Найдем еще проводя вычисление по некоторой удобной схеме. Именно, запишем

Мы провели вычисление таким образом, чтобы подобные члены оказались Записанными один под другим. Теперь видно, что коэффициенты формулы (21.1): 1, 4, 6, 4. 1 получаются из коэффициентов формулы для куба суммы следующим путем: записываем коэффициенты формулы для в две строки со сдвигом нижней строки вправо:

и складываем числа, подписанные одно под другим:

при этом и получатся коэффициенты формулы (21.1). Совершенно аналогично, для получения коэффициентов формулы, выражающей пишем

Теперь сама формула для пятой степени суммы напишется в виде

Можно весь этот процесс представить с помощью треугольника Паскаля: коэффициенты

Каждая строка этой таблицы (за исключением первой) начинается и заканчивается единицей, любой другой элемент строки равен сумме соседних с ним элементов строки, расположенной над ней. Таким образом, таблица заполняется сверху вниз. Так, например, строка при получается из строки при по схеме:

а строка при из строки при аналогично по схеме

К сожалению, по указанной схеме неудобно находить коэффициенты в формуле для при больших значениях , так как получить, например, десятую строку можно, лишь продолжив таблицу коэффициентов до десятой строки.

Можно указать и общую формулу для любого из коэффициентов в выражении . Эту формулу мы сообщим здесь без вывода, она может быть доказана по индукции.

Первые два коэффициента при в разложении суть 1 и ; следующий коэффициент при может быть получен по формуле следующий по формуле и т. д. Вообще, коэффициент при в выражении равен

Здесь в числителе ппшется произведение k последовательных чисел, начиная от , расположенных в порядке убывания. В знаменателе, напротив, сомножители располагаются, начиная от единицы, в порядке возрастания. Найдем по этому правилу коэффициенты для

Отметим, что коэффициенты симметрично расположенных (от конца и начала) членов всегда оказываются равными.

В общем виде можно записать формулу так:

Эта формула называется формулой бинома Ньютона.

Пример 1. Раскрыть выражение

Решение. По формуле бинома Ньютона находим

Пример 2. Найти член бинома содержащий а в степени 35/3.

Решение. Член бинома с номером k (считая от начала) содержит произведение

из условия задачи имеем . Поэтому требуется написать член бинома с номером 5:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление