Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Шаровая поверхность. Шар

256. Шар и шаровая поверхность.

Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстояние R (радиус). Все пространство по отношению к данной шаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей называется шаром или сферой. Итак, шар — геометрическое место точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.

Рис. 401.

Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 401), лежащую в плоскости X. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою очередь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку проекцию вращающейся точки М на ось вращения АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вращения, и потому точка М все время будет находиться на сферической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоскости. Для этого, имея некоторый шар и плоскость к, опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра окажется вне шара (рис. 402), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра.

Рис. 402.

Рис. 403.

В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 403), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с шаровой поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Действительно, если плоскость имеете поверхностью шара единственную общую точку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.

Рис. 404.

Если, наконец, основание перпендикуляра окажется внутри шара (рис. 404), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверхностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно . Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверхностью шара является окружностью с центром в точке и радиусом, равным

Для доказательства проведем через произвольный луч лежащий в секущей плоскости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник с прямым углом при вершине . Катет по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точки пересечения плоскости к с поверхностью шара лежат на одной окружности с центром и радиусом, равным Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости Я) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения — полная окружность, а не какая-либо часть ее.

Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:

1) при плоскость не пересекает шара;

2) при плоскость касается шара в одной точке, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;

3) при плоскость пересекает шар по окружности, центром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, а радиус равен

В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, проходящими через его центр, называются большими кругами шара.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельны-. плоскостями имеют радиусы, равные 6 см и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их . Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника (рис. 405). Площадь S треугольника находится по трем сторонам и искомый радиус равен .

Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересекать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление