Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

35. Обратная функция.

Рассмотрим функцию областью определения которой служит, например, сегмент [а, b] (рис. 19), а областью изменения — сегмент Функция y = f(x) ставит каждой точке сегмента в соответствие некоторую точку сегмента Для изображенной на рис. 19 функции (благодаря тому, что она монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению из сегмента соответствует единственное значение из сегмента такое, что

Тем самым можно рассматривать как функцию от у с областью определения [с, d] и областью изменения Функцию назовем обратной по отношению к функции y = f(x) (можно эти две функции назвать взаимно обратными).

При схематическом изображении взаимно обратные функции представятся стрелками, как показано на рис. 20. При этом, одчако, существенно, чтобы данному у могло отвечать лишь одно значение такое, что y = f (х), тогда мы и пишем: Записи имеют здесь равнозначный смысл: в том и только в том случае, если

Рис. 19.

Рис. 20.

Поэтому пары чисел определяемые любым из двух соотношений будут одними и теми же. Это означает, что графики функций совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную изменяющуюся на сегменте , вторая — переменную у с областью изменения аргумента [с, d]. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции — на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции мы станем значения аргумента обозначать через и изображать на оси Ох, а значения функции будем обозначать через у и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к функции будет уже иметь вид

Теперь график функции будет получаться из графика с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов (рис. 21). В самом деле, пусть точка лежит на графике данной функции; тогда точка с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции.

Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы , а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I—III координатных углов.

Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции .

Рис. 21.

Рис. 22.

Решение. Из равенства, определяющего данную функцию, выразим х через у:

В последнем равенстве поменяем местами х и у и получим выражение для функции

обратной по отношению к данной функции.

Внесем некоторые уточнения в понятие обратной функции. Мы начали рассматривать вопрос об обратной функции на примере функции, заданной графиком на рис. 19. Эта функция монотонна всюду в области определения. Именно этим обусловлен тот факт, что каждой точке из сегмента функция ставит в соответствие только одну точку из сегмента Но для функции, не являющейся монотонной, это может не выполняться. В самом деле, на рис. 22 на сегменте показан график немонотонной функции . По этой причине имеются значения у, которым соответствует не единственная точка сегмента так, точке отвечают три точки такие, что . В силу этого функция рассматриваемая на сегменте не имеет обратной функции, если, конечно, не обобщать понятие функции, вводя «многозначные функции». Если наряду с функцией определенной на сегменте рассматривать функцию, определенную только на интервале монотонности функции f(х) (например, [а, с], [с, d] или и совпадающую с на этом интервале, то у этой новой функции уже будет существовать обратная функция.

С этим вопросом мы встретимся в п. 41 при изучении функции и в пп. 130-133 при изучении обратных тригонометрических функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление