Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Если каждое из натуральных чисел делится нацело на натуральное число k, то говорят, что число k является их общим делителем. Так, числа 108 и 144 имеют ббщие делители 1, 2, 3, 6, 9, 12, 18, 36. Если два или несколько чисел не имеют общих делителей, отличных от единицы, то эти числа называются взаимно простыми. Так, числа 49 и 121 взаимно простые.

Так как данные числа а, b, f могут иметь лишь конечное число общих делителей, то среди их общих делителей имеется наибольший; в случае взаимно простых чисел он равен единице.

Для наибольшего общего делителя (н.о.д.) црименяется обозначение

Например:

Наибольший общий делитель двух чисел можно находить, пользуясь их разложением на простые множители. Пусть требуется, например, найти н.о.д. чисел 504 и 540. Разложим каждое из них на простые множители:

Мы видим, что, кроме единицы, общими делителями данных чисел являются

Таким образом,

В общей форме процесс отыскания н.о.д. можно описать на примере двух чисел следующим образом. Запишем разложение данных чисел а и b на попарно различные простые множители:

Может случиться, что среди чисел нет ни одного, равного кому-либо из чисел Тогда а и b - взаимно простые, Если, например, совпадает с одним из чисел то оба числа а и b делятся на взятое в степени, меньшей из двух степеней, с которыми это число входит в разложение каждого из чисел а и b. Поэтому для получения н.о.д. чисел а и b следует: 1) выбрать все одинаковые простые множители, входящие в разложения а и каждый из них взять в степени, меньшей из двух степеней, с которыми этот множитель входит в указанные разложения; 3) взять произведение найденных таким путем общих множителей — оно и будет н.о.д. чисел а и b.

Подобным же образом находится и н.о.д. нескольких чисел.

Имеется и иной метод отыскания н.о.д. двух чисел; о нем рассказывается в п. 4.

Если число является кратным для каждого из чисел а, b.....f (т. е. делится на любое из этих чисел нацело), то называется общим кратным чисел

В частности, произведение нескольких натуральных чисел всегда является их общим кратным. Среди всех общих кратных данных чисел а, имеется наименьшее; оно называется наименьшим общим кратным (н.о.к.) данных чисел и обозначается так:

Н.о.к. двух или нескольких чисел также удобно находить, используя разложение этих чисел на простые множители. Так, для чисел

мы найдем н.о.к., взяв каждый из простых множителей в их разложениях в большей из двух степеней, в которых он входит в эти разложения:

Аналогично,

Итак, для отыскания н.о.к. нескольких чисел следует: 1) выписать все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из этих чисел; 2) взять каждый из этих простых множителей в наибольшей из степеней, в которых он входит в разложения данных чисел; 3) взять произведение найденных степеней простых сомножителей — оно и будет н.о.к. данных чисел.

Нетрудно заметить, что для двух взаимно простых чисел а и

- н.о.к. двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел. Отметим, без доказательства, более общее соотношение (оно сводится к предыдущему в случае, если

имеющее место для любых двух чисел: произведение наибольшего общего делителя на наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению этих чисел.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление