Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной

57. Число и кратность корней.

Алгебраическим уравнением степени с одной неизвестной называется уравнение вида

(т. е. уравнение f{x) = 0, в левой части которого стоит степени от х).).

Для алгебраических уравнений принято ставить задачу отыскания всех (вообще говоря, комплексных) корней уравнения. Так как корнями уравнения (57.1) являются нули (корни) многочлена в его левой части, то можно использовать сведения о целых рациональных функциях и их корнях (п. 52). Утверждения, приведенные в п. 52, формулируются применительно к уравнению (57.1) следующим образом:

1) Каждое уравнение степени имеет по меньшей мере один корень в комплексной области. Если каждый корень учитывать с его кратностью, т. е. считать за столько корней, какова его кратность, то число корней уравнения равно его степени . При этом говорят, что а — корень кратности k, если левая часть уравнения делится на нацело, но не делится нацело на

Если уравнение (57.1) имеет комплексный (мнимый) корень , то и комплексно сопряженное число является корнем уравнения (кратности обоих сопряженных корней одинаковы).

На протяжении столетий главной задачей алгебры было указание правил решения алгебраических уравнений. С древности известны формулы для решения уравнений первой и второй степени. Итальянскими математиками эпохи Возрождения {Кардано, Тарталья, Феррари) были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени (они громоздки и не имеют большого практического значения). Попытки решения «в радикалах» (т. е. с применением действия извлечения корня) уравнений степени выше четвертой были в общем случае безуспешны. Уже в XIX веке в работах Руффини, Абеля и Галуа было установлено, что не только для корней общего уравнения степени выше четвертой не может быть дано формул, выражающих их в радикалах, но и что корни многих конкретных уравнений с числовыми (например, целыми) коэффициентами не могут быть выражены через радикалы из рациональных чисел.

Мы изучаем ниже уравнения первой и второй степени и некоторые частные виды уравнений степени выше второй.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление