Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).

Алгебраическое уравнение второй степени записывается в общем виде так:

и обычно называется квадратным уравнением. Коэффициенты уравнения называют: а — первым или старшим коэффициентом, - вторым или средним коэффициентом, с — свободным членом (или третьим коэффициентом).

Так как число корней алгебраического уравнения в комплексной области равно степени уравнения, то следует ожидать, что квадратное уравнение (59.1) будет иметь два корня. Поскольку мнимые корни всегда появляются парами (комплексно сопряженные корни), то имеется три возможности:

1) уравнение (59.1) имеет два действительных (различных) корня;

2) уравнение (59.1) имеет кратный (двойной) действительный корень;

3) уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней. Эти предварительные заключения подтвердятся в процессе отыскания корней уравнения.

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения (59.1) на и получим равносильное уравнение вида

(здесь ). Уравнение (59.2) со старшим коэффициентом, равным единице, называют приведенным квадратным уравнением.

Для того чтобы решить его, прибавим к обеим его частям число тем, чтобы члены образовали точный квадрат двучлена и получим равносильное уравнение

откуда

Имеется существенное различие между случаями, когда число входящее в левую часть равенства (59.3), положительно, равно нулю или отрицательно. Если , то можно написать

имея в виду, что - арифметическое значение корня квадратного из . Если , то также можно написать

Если же то можно представить как . Будем и в этом, принципиально отличном, случае писать подразумевая под чисто мнимое число Теперь во всех случаях имеем

Разложим левую часть равенства (59.4) с помощью формулы для разности квадратов:

откуда

либо

Равенства (59.6), (59.7) и дают нам значения двух корней уравнения (59.4), а следовательно, и приведенного квадратного уравнения (59.2):

Обычно эти две формулы объединяют в одну:

Здесь, как указано в процессе вывода, в случае под понимают .

Если вернуться к исходному уравнению (59.1) (будем его называть неприведенным квадратным уравнением), то в формуле (59.8) придется заменить через и q через после несложных преобразований получим формулу для корней неприведенного квадратного уравнения (59.1):

Если коэффициент b в уравнении (59.1) обозначен через т. е. уравнение записано в виде

то формула (59.9) принимает более простой вид:

Пример 1. Решить квадратные уравнения:

Решение, а) Применим формулу (59.8) для приведенного квадратного уравнения:

Корни действительные и различные: .

б) Применим формулу (59.11) (используя, что

Корни:

в) Имеем по формуле (59.11)

откуда корни данного уравнения оказались иррациональными числами.

г) С помощью формулы (59.11) найдем

Корни уравнения комплексно сопряженные:

д) По формуле (59.11) имеем

Уравнение имеет равные корни: (иначе говорят, что оно имеет корень кратности два). Это можно было бы заметить сразу, записав левую часть уравнения как полный квадрат:

Формулы (59.8), (59.9) и (59.11) пригодны, разумеется, и для решения квадратных уравнений с буквенными коэффициентами.

Пример 2. Решить следующие уравнения: а) Решение, а) По формуле (59.11) имеем

Отсюда

б) Пользуясь формулой (59.9), найдем

Таким образом,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление