Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

62. Уравнения высших степеней. Целые корни.

Алгебраические уравнения выше второй степени мы называем уравнениями высших степеней. Изучение их в общем виде выходит за рамки программы средней школы. В нашем курсе рассматриваются лишь некоторые частные Еопросы, относящиеся к уравнениям высших степеней. Здесь мы покажем, как можно находить целые корни уравнения с целочисленными коэффициентами (если такие корни имеются).

Пусть старший коэффициент уравнения равен единице (приведенное уравнение), а остальные коэффициенты — целые числа. Пусть такое уравнение

имеет корнем целое число подставляя в уравнение, получим

откуда

где оба сомножителя в правой части равенства — целые; таким образом, свободный член уравнения должен делиться на k. Все целые корни приведенного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена. Отсюда следует, что в качестве целых корней надлежит испытывать не какие-либо произвольные целые числа, а лишь делители свободного члена уравнения, которых имеется лишь конечное множество.

Можно доказать, что приведенное уравнение с целыми коэффициентами не имеет других рациональных корней, кроме целых; поэтому наш метод дает все рациональные решения уравнения (62.1).

Пример 1. Решить уравнение Решение. Выписываем (положительные и отрицательные) делители свободного члена

Подставляя эти числа в уравнение, находим, что корнем данного уравнения служит число поскольку Многочлен, расположенный в левой части уравнения, по теореме Безу (п. 51) должен без остатка делиться на двучлен, Проделав деление, найдем в частном квадратный трехчлен Его два корня присоединим к ранее найденному корню и, таким образом, найдем все три корня данного уравнения:

Пример 2. Имеет ли уравнение целые корни?

Решение. Целыми корнями могут быть лишь делители свободного члена 2, т. е. числа ±1, ±2. Непосредственной подстановкой этих чисел в уравнение убеждаемся, что ни одно из них ему не удовлетворяет. Данное уравнение целых и вообще рациональных корней не имеет.

Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами

отличен от единицы, то можно ввести новую неизвестную у с помощью формулы тогда для у получится уравнение

или

которое уже имеет) старший коэффициент, равный единице, и к которому применим способ отыскания целых корней, указанный выше. Целые корни для у Кадут рациональные, вообще говоря, дробные корни для

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Делаем подстановку . После очевидных преобразований имеем

Подбираем целый корень для у, находим

Делим левую часть уравнения на и получаем уравнение

с корнями . Окончательно выписываем решения исходного уравнения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление