Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

64. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Уравнение вида

называется биквадратным уравнением и после введения новой неизвестной сводится к квадратному уравнению

Аналогично, вообще, уравнение вида

сводится к квадратному уравнению относительно Найдя его корни мы затем получим корни уравнения (64.3) путем решения двучленных уравнений Пример 1. Решить уравнение Решение. Положим Тогда для получим уравнение

Из него найдем Отсюда

и, следовательно, четыре корня данного уравнения таковы:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Положим для получим уравнение

Из него находим

Это приведет к следующим двум двучленным уравнениям третьей степени:

Решив эти двучленные уравнения (см. п. 63), найдем все шесть корней данного уравнения:

Остановимся несколько подробней на случае биквадратного уравнения (64.1). При указанном выше способе его решения в случае, когда соответствующее квадратное уравнение (64.2) имеет мнимые корни, отыскание значений из равенств потребует извлечения корня квадратного из мнимых чисел. Оказывается, что этого можно избежать, решая уравнение другим приемом. Пусть (корни уравнения (64.2) мнимые). Тогда преобразуем левую часть уравнения (64.1) следующим способом (считаем тогда и с > 0):

Здесь обозначив через получим

Левая часть уравнения разложится на действительные квадратичные множители, и задача сведется к решению двух квадратных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Так как здесь , то применяем второй способ решения:

Задача свелась к решению пары квадратных уравнений:

Искомые решения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление