Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Иррациональные числа. Действительные числа.

Не все действия, рассматриваемые в алгебре, выполнимы в поле рациональных чисел. Примером может служить операция извлечения квадратного корня. Так, если равенство выполняется при значениях , то равенство не имеет места ни при каком рациональном значении Докажем это. Сначала заметим, что целое не может иметь квадрата, равного 2: при имеем а при заведомо больше 2. Предположим теперь, что дробное: (дробь считается несократимой) и

Отсюда имеем должно быть четным числом (иначе квадрат не был бы четным). Положим .

Теперь получается, что и - четное, что противоречит допущению о несократимости дроби

Это показывает, что в области рациональных чисел из числа 2 нельзя извлечь квадратный корень, символ не имеет смысла в области рациональных чисел. Между тем задача: «найти сторону квадрата, зная, что площадь его равна S» — столь же естественна при как и при Выход из этого и других подобных затруднений состоит в дальнейшем расширении понятия числа, во введении нового вида чисел — иррациональных чисел.

Покажем, как вводятся иррациональные числа на примере задачи извлечения квадратного корня из числа 2; для простоты ограничимся положительным значением корня.

Для каждого положительного рационального числа будет иметь место одно из неравенств или Очевидно, что . Рассматриваем затем числа и находим два соседних среди них с тем свойством, что первое имеет квадрат, меньший двух, а второе — больший двух. Именно, Аналогично, продолжая этот процесс, получим ряд неравенств (для получения десятичных дробей, написанных здесь, можно также использовать известный алгоритм приближенного извлечения квадратного корня, п. 13):

Сопоставляя сначала целые части, а затем первые, вторые, третьи и т. д. цифры после запятой у рациональных чисел, между квадратами которых лежит 2, мы можем последовательно выписать эти десятичные знаки:

Процесс отыскания пар рациональных чисел (выраженных конечными десятичными дробями), отличающихся друг от друга на со все большим m может быть продолжен неограниченно. Поэтому можно рассматривать дробь (6.1) как бесконечную десятичную дробь (непериодическую, так как в случае периодичности она представляла бы рациональное число).

Эта бесконечная непериодическая дробь, любое число десятичных знаков которой мы можем выписать, но для которой нельзя осуществить записи одновременно всех знаков, и принимается за число, равное (т. е. за число, квадрат которого равен 2).

Отрицательное значение корня квадратного из двух мы представим в виде

или, пользуясь искусственной формой записи чисел, в виде

Введем теперь следующее определение: иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь

где а — делая часть числа (она может быть положительной, равной нулю или отрицательной), а — десятичные знаки (цифры) его дробной части.

Заданное бесконечной непериодической дробью иррациональное число определяет две последовательности конечных десятичных дробей, называемых десятичными приближениями а по недостатку и по избытку:

Например, для запишем

и т. д. Здесь, например, 1,41 — десятичное приближение с точностью до 0,01 по недостатку, а 1,42 — по избытку.

Запись неравенств между иррациональным числом и его десятичными приближениями входит в самое определение понятия иррационального числа и может быть положена в основу определения соотношений «больше» и «меньше» для иррациональных чисел.

Возможность представления иррациональных чисел их все более и более точными десятичными приближениями лежит также в основе определения арифметических действий над иррациональными числами, которые фактически производятся над их иррациональными приближениями по недостатку или по избытку.

К иррациональным числам приводят многие действия, как, например, действие извлечения корня степени из рационального числа (если оно не представляет собой степень другого рационального числа), логарифмирование и т. д. Иррациональным является число , равное отношению длины окружности к ее диаметру (п. 229).

Все рациональные и иррациональные числа образуют в совокупности множество действительных (или вещественных) чисел. Таким образом, всякая десятичная дробь, конечная или бесконечная (периодическая или непериодическая), всегда определяет действительное число.

Всякое отличное от нуля действительное число либо положительно, либо отрицательно.

Напомним в связи с этим следующее определение. Абсолютной величиной или модулем действительного числа а называется число определяемое равенствами а, если

Таким образом, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу (верхняя строка равенства); модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком (нижняя строка). Так, например,

Из определения модуля следует, что модуль любого числа есть число неотрицательное; если модуль числа равен нулю, то и само число равно нулю, в остальных случаях модуль положителен.

Действительные числа образуют числовое поле — поле действительных чисел: результат рациональных действий над действительными числами снова выражается действительным числом. Заметим, что взятые в отдельности иррациональные числа не образуют ни поля, нидаже кольца: например, сумма двух иррациональных чисел равна рациональному числу 3.

Наш краткий очерк развития понятия о числе, построенный по схеме

мы заключим указанием на наиболее важные свойства совокупности действительных чисел.

1. Действительные числа образуют поле.

2. Действия над действительными числами подчинены обычным законам (например, сложение и умножение — законам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, п. 1).

3. Для любых двух действительных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех соотношений: а больше b (а > b), а меньше , а равно . Говорят поэтому, что множество действительных чисел упорядочено.

4. Принято, наконец, говорить, что множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Смысл, который придается этому выражению, пояснен в п. 8. Именно это свойство существенно отличает поле действительных чисел от поля рациональных чисел.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление