Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

73. Разные уравнения. Системы уравнений.

Здесь мы приведем примеры уравнений «смешанного типа», в которых неизвестная может одновременно входить и под знак корня, и под знак логарифма, и в показатель степени, а также примеры систем уравнений рассматриваемых типов.

Пример 1. Решить уравнения:

Решение, а) По определению логарифма получаем

Отсюда . Но . Поэтому , и, следовательно, , откуда . Оба эти числа служат решениями данного уравнения.

б) По свойству 8 п. 27 имеем

Следовательно, данное уравнение можно переписать так;

Обозначим и получим для квадратное уравнение с корнями . Для определения получим два уравнения:

Из первого находим а из второго . Итак, данное уравнение имеет два корня: .

в) Если равны степени с одинаковыми показателями, то отсюда можно заключить., что основания равны друг другу или показатели равны нулю. Из первого предположения находим , а из второго . Решая эти два уравнения, определяем следующие три корня данного уравнения:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Уравнение можно переписать в виде

Оно будет удовлетворяться в двух случаях: при равенстве показателей степени:

и при равенстве основания степени единице:

Первая из этих возможностей приводит к уравнению относительно неизвестной

имеющему решения . Для это дает два корня: .

Вторая возможность осуществляется при или Значение не входит в данного уравнения, значение же удовлетворяет уравнению. Итак, уравнение (73.1) имеет три корня:

Пример 3. Решить следующие системы уравнений:

Решение, а) Имеем . Потенцируя первое уравнение системы, найдем

Второе уравнение системы запишется как квадратное уравнение относительно у:

Его положительный корень (отрицательный корень не входит в о.д.з. данной системы). Для х получаем два значения: , из которых отрицательное отбрасываем. Единственное решение системы: (2, 4).

б) Второе уравнение системы может быть записано в виде

и дает

Рассмотрение первого уравнения системы распадается на два случая:

В первом случае приходим к решению системы (1, 4).

Во втором имеем, с учетом равенства уравнение для

Второе решение системы есть (4, 7).

в) Заметим, что . Поэтому, положив , приведем первое уравнение системы к уравнению которое сводится к квадратному относительно . Из него получим Значит, или откуда или Второе уравнение данной системы теперь можно записать так: или . Первое уравнение имеет единственный действительный корень по нему находим Второе уравнение возведем в квадрат и получим уравнение с единственным действительным корнем откуда Итак, данная система имеет два решения: (4, 2) и (2, 4).

г) Перепишем уравнения системы в виде

и прологарифмируем каждое из них по основанию 10:

Из первого уравнения выразим

Подставим это выражение в правую часть второго из уравнений (73.2) и после несложных преобразований получим

Отсюда

и так как второй сомножитель левой части, очевидно, отличен от нуля, то откуда для у имеем .

Единственное решение системы — точка

Упражнения

1. Решить уравнения:

2. Решить уравнения:

3. Решить уравнения:

4. Решить уравнения:

5. Решить системы уравнений:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление