Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

82. Неравенства с двумя неизвестными.

Неравенство с двумя неизвестными

имеет своими решениями пары чисел которые изображаются точками плоскости. Найти множество всех решений данного неравенства (или, в других случаях, системы неравенств) — это значит указать на плоскости множество точек, в которых это неравенство (система неравенств) удовлетворяется. Такая необходимость возникает, например, при отыскании алгебраического выражения, зависящего от двух буквенных величин.

Пример 1. Указать на плоскости множество решений неравенства:

Решение, а) Неравенство удовлетворяется в двух случаях: 1) при при

Рис. 67.

В случае 1) получается часть правой полуплоскости лежащая ниже прямой . Случаю 2) отвечает часть левой полуплоскости, лежащая выше прямой Все множество решений неравенства показано на рис. 67, в.

Линии ограничивающие заштрихованную область, в нее не входят (так как решалось строгое неравенство).

б) Пусть сначала . Тогда получается система неравенств

Так как - уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные единице, то неравенствам будут удовлетворять точки треугольника, ограниченного отрезками осей координат и прямой первой четверти; рис. 68, а).

Рис. 68.

Части области, расположенные в других четвертях, будут симметричны указанному треугольнику (рис. 68, б). В этом легко убедиться, если заметить, что вместе с точкой (х, у) неравенству будут удовлетворять и симметрично расположенные точки . Линии, ограничивающие область, в данном случае ей принадлежат (вследствие того, что неравенство нестрогое).

Пример 2. На плоскости показать области, в которых функция

положительна или отрицательна.

Решение. На плоскости изобразим параболы отделяющие друг от друга области а), а также области (рис. 69, б). Области, где указанные выражения положительны, заштрихованы (разной штриховкой на рис. 69, а и 69, б).

Оба чертежа совмещены на рис. 69, в и теперь видно, что области, покрытые двойной штриховкой и совсем незаштрихованные, являются областями положительности функции, а однократно заштрихованные области — областями ее отрицательности.

Рис. 69.

Всего получается пять областей, в двух из которых функция отрицательна и в трех положительна.

Упражнения

1. Решить неравенства:

2. Решить системы неравенств:

3. Решить неравенства;

4. Решить неравенства:

5. Решить неравенства:

6. Решить неравенства:

7. Решить неравенства:

8. Показать на координатной плоскости множества решений неравенств: а)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление