Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода.

Если последовательность сходится к нулю:

то она называется бесконечно малой последовательностью. Говорят также, что ее общий член является при бесконечно малой величиной. Бесконечно малыми являются последовательности (84.3) и (84.4).

Если мы применим формулировку понятия предела к случаю бесконечно малой последовательности, т. е. к случаю, когда предел равен нулю, то придем к такому определению бесконечно малой последовательности (равносильному данному выше): последовательность называется бесконечно малой, если для любого заданного найдется такой номер N, что при всех будет иметь место неравенство

Сформулируем некоторые полезные теоремы о бесконечно малых последовательностях (и для примера докажем первую из них).

Теорема 1. Сумма двух или нескольких бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство проведем для случая суммирования двух последовательностей. Пусть последовательности бесконечно малые. Если - последовательность, полученная их сложением, то она также будет бесконечно малой. Действительно, пусть задано произвольное положительное число е. В силу того, что бесконечно малая, найдется число N такое, что будет меньше числа при . Аналогично и для второй последовательности можно указать (вообще говоря, другое) число такое что при будем иметь Теперь, если больше большего из чисел , то одновременно

Но тогда, по свойству «модуль суммы не превосходит суммы модулей» (п. 74, свойство 13), найдем

что и докажет требуемое утверждение: последовательность бесконечно малая читается как «большее из двух чисел N и .

Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на последовательность, сходящуюся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Из этой теоремы, в частности, следует, что произведение постоянной величины на бесконечно малую, так же как произведение нескольких бесконечно малых друг на друга, является бесконечно малой величиной. Действительно, постоянная величина всегда есть величина ограниченная. То же относится и к бесконечно малой. Поэтому, например, произведение двух бесконечно малых можно истолковать как произведение бесконечно малой на ограниченную.

Теорема 3. Частное от деления последовательности, сходящейся к нулю, на последовательность, имеющую предел, отличный от нуля, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Следующая теорема позволяет использовать бесконечно малые при доказательствах теорем о пределах (теоремы 6—8).

Теорема 4. Общий член последовательности, имеющей предел, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины.

Доказательство. Пусть дана последовательность такая, что

Из определения предела следует:

для всех , удовлетворяющих неравенству Обозначим и тогда получим, что для указанных значений будет

т. е. что есть бесконечно малая величина. Но

а это и доказывает нашу теорему.

Верна и обратная

Теорема 5. Если общий член последовательности отличается от какой-либо постоянной величины на бесконечно малую величину, то эта постоянная является пределом данной последовательности.

Рекомендуем читателю доказать эту теорему самостоятельно.

Теперь мы рассмотрим правила предельного перехода, сформулированные в следующих трех теоремах.

Теорема 6. Предел суммы двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен сумме этих пределов:

Доказательство. Пусть даны последовательности такие, что

Тогда на основании теоремы 4 мы можем записать:

где некоторые бесконечно малые последовательности. Сложим два последних равенства:

Величина как сумма двух постоянных а и b, постоянна, а как сумма двух бесконечно малых последовательностей, по теореме 1 есть бесконечно малая последовательность. Отсюда и из теоремы 5 заключаем, что

или

а это и нужно было доказать.

Доказательство, которое мы сейчас провели, можно без труда обобщить на случай алгебраической суммы любого числа заданных последовательностей.

Теорема 7. Предел произведения двух, или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен произведению пределов этих последовательностей:

Доказательство. Пусть Тогда имеем

где бесконечно малые последовательности. Находим где скобками объединена сумма трех бесконечно малых последовательностей, которая и сама является бесконечно малой последовательностью. Произведение отличается от на бесконечно малую последовательность, и потому

то и требовалось доказать.

Доказательство в случае большего числа сомножителей проводится аналогично.

Из теоремы 7 вытекает

Следствие. Постоянный множитель выносится за знак предела:

(можно рассматривать постоянный множитель как член постоянной последовательности и применить теорему 7 и положение о том, что предел постоянной последовательности равен ее членам).

Теорема 8. Предел частного двух последовательностей, имеющих предел, равен частному от деления этих пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.

Записать утверждение этой теоремы можно так: если

то

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление