Главная > Математика > Элементарная математика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии.

Выведем теперь формулу для суммы членов конечной арифметической прогрессии. Для прогрессии, имеющей членов, обозначим эту сумму через . Запишем выражение суммы дважды, один раз расположив члены прогрессии по возрастанию их номеров, а другой раз — по убыванию:

Сложим эти два равенства:

Всего в правой части имеется скобок. По свойству 2 (п. 87) суммы, заключенные в этих скобках, все равны между собой и равны сумме, заключенной в первой скобке. Поэтому

откуда

Если теперь мы вместо подставим в формулу (88.1) его выражение через и d по формуле (86.1), то после простых преобразований получим следующую вторую формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

Пример. Определить сумму k первых нечетных чисел, начиная с единицы. Решение. На месте в последовательности нечетных чисел находится число . Последовательность нечетных чисел есть арифметическая прогрессия, у которой . По формуле (88.1) находим

откуда

Так, например,

Упражнения

1. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найти сумму шести членов прогрессии.

2. Дана некоторая последовательность, у которой при любом сумма первых членов выражается формулой Показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия, и найти ее пятый член.

3. Для того чтобы три числа составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы числа также составляли арифметическую прогрессию. Доказать.

4. Доказать, что каждый член арифметической прогрессии представляет собой среднее арифметическое членов, равноудаленных от него.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление