Главная > Физика > Элементарные частицы и законы физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

НА ПУТИ К ОКОНЧАТЕЛЬНЫМ ФИЗИЧЕСКИМ ЗАКОНАМ

Стивен Вайнберг

Я чрезвычайно признателен Колледжу Сент Джон и математическому факультету Кембриджского университета за приглашение выступить с лекцией на Дираковских чтениях. Дирак стал моим кумиром, когда я еще студентом узнал о его замечательных достижениях. Впоследствии мне посчастливилось несколько раз встретиться с Дираком лично. Я до сих пор испытываю благоговение перед ним. Выступление с лекцией в память о таком замечательном человеке ко многому обязывает. Планируя свое выступление, я чувствовал, что здесь уместно говорить только о чем-то очень значительном. По-видимому, было бы недостаточно

сообщить о небольшом открытии в области физики элементарных частиц, которое мы сделали на прошлой неделе. Я не стану углубляться

в детали и расскажу о том, что представляется самым важным для людей, работающих в моей области, а именно о том, как будут выглядеть окончательные физические законы.

Конечно, мне бы очень хотелось почтить память Дирака, показав вам плакат, на котором были бы написаны окончательные законы физики, но я пока не в состоянии этого сделать. Тема моего выступления гораздо скромнее. Она будет звучать так: «Можем ли мы найти в современной физике какой-либо намек на то, как будет выглядеть окончательная фундаментальная теория, которую мы когда-нибудь построим?».

Прежде всего, позвольте мне сказать, что я понимаю под окончательной фундаментальной теорией. На протяжении нескольких последних столетий ученые находили объяснения явлениям окружающего мира, шаг за шагом продвигались от масштабов повседневной жизни ко все более микроскопическим. На этом пути множество старых вопросов — почему небо голубое, почему вода мокрая, и т. п. — нашли свое объяснение на основании свойств атомов и света. В свою очередь, свойства атомов удалось объяснить, исходя из свойств того, что мы называем элементарными частицами:

кварков, лептонов, калибровочных бозонов и некоторых других. Развитию науки всегда сопутствовало стремление к простоте. Сказанное не означает, что математический аппарат со временем становится проще или что число элементарных частиц должно с каждым годом уменьшаться. Скорее, это говорит о том, что основные принципы теории становятся со временем логически более согласованными между собой и кажутся более неизбежными. Мой коллега из Техаса Джон Уилер считает, что, открыв окончательные физические законы, мы будем поражены тем, что они не были очевидны нам с самого начала. Как бы там ни было, наша задача заключается в том, чтобы продолжать поиски простых физических принципов, которые выглядели бы максимально убедительными и из которых мы в принципе смогли бы вывести все, что известно из современной физики.

Я не знаю, достигнем ли мы когда-нибудь этой цели; на самом деле у меня даже нет уверенности в том, что существует такая вещь, как набор окончательных фундаментальных физических законов. И все же я совершенно уверен, что эти поиски не пропадут для нас даром, как не пропал даром поиск семи

золотых городов для испанских конквистадоров, впервые отправившихся на север из центральной Мексики. Они не нашли городов, зато им открылись другие полезные вещи, например Техас.

Позвольте мне теперь пояснить, что я не считаю фундаментальными физическими законами. Я не думаю, что традиционным областям физики угрожает опасность быть замененными некоторой окончательной версией теории элементарных частиц. Мне кажется, что термодинамика может послужить хорошим примером. Сегодня мы уже многое знаем о молекулах воды. Допустим, когда-нибудь мы узнаем все, что о них в принципе можно узнать; предположим, мы будем обладать безграничными вычислительными ресурсами, и у нас будут компьютеры, способные рассчитать траекторию движения каждой молекулы в стакане воды. (Скорее всего, этого никогда не случится, но мы все же допустим такую возможность.) Даже если мы будем в состоянии описать поведение каждой молекулы в стакане воды, однако в кипах компьютерных распечаток мы не обнаружим интересующих нас свойств воды, таких как температура и энтропия. Эти свойства имеют смысл только в пределах термодинамической теории, которая

оперирует понятием теплоты, не сводя его к свойствам элементарных частиц или молекул.

Сегодня нет никаких сомнений в том, что своими законами термодинамика в конечном счете обязана свойствам вещества в малом, на элементарном уровне. (Если вы читали, например, биографию Больцмана, то, вероятно, знаете, что в начале века это мнение считалось ошибочным.) Сегодня нет сомнений в том, что законы термодинамики вытекают из более глубоких, фундаментальных принципов физики. Тем не менее термодинамика будет существовать и дальше на правах одного из разделов физики.

Сказанное справедливо и в отношении других, более актуальных сегодня областей науки, например теории конденсированного состояния и теории хаоса. В еще большей степени сказанное справедливо в отношении наук за пределами физики; в особенности это касается астрономии и биологии, для которых важен элемент преемственности.

Я не утверждаю, что теория элементарных частиц является самым важным разделом физики. Я только пытаюсь сказать, что из-за связи с фундаментальными законами природы теория элементарных частиц имеет особое значение, пусть даже ей не всегда сразу

удается найти практическое применение. Об этом стоит вспоминать, когда ученые, занимающиеся физикой элементарных частиц, обращаются за финансовой поддержкой для продолжения экспериментальных исследований.

Я занимаю сейчас несколько оборонительную позицию, поскольку существует одно скверное словечко, которым называют всех, кто говорит о фундаментальных физических законах. Их называют редукционистами. Разумеется, верно, что наивный редукционизм может иметь ужасные последствия, особенно в сфере общественных наук. Но есть одно обстоятельство, из-за которого, я полагаю, не стоит спорить о достоинствах и недостатках редукционизма — сегодня мы все редукционисты. Представляю, с каким недоверием отнесся бы в наши дни химик к любому объяснению химического сродства, которое не могло хотя бы в принципе быть выведено из свойств молекул.

В подобном отношении к проблеме есть нечто древнее, восходящее к досократовским временам. Реальная надежда найти небольшое количество простых принципов, лежащих в основе всей физики, возникла всего 60 лет тому назад и обязана своим появлением великому перевороту в науке — созданию

теории, которой Поль Дирак придал завершенную форму и которая известна как квантовая механика.

Когда я готовил эту лекцию, мне сказали, что она должна быть рассчитана на студентов, прослушавших вводный курс квантовой механики. Допуская, что не все присутствующие здесь удовлетворяют этому критерию, я приготовил для вас двухминутный курс квантовой теории. Мне необходимо уложиться в эти две минуты, поэтому я рассмотрю очень простую систему — обычную монету. Отвлекаясь от проблем, связанных с ее движением, будем интересоваться единственным вопросом — что выпадает, «орел» или «решка». При классическом описании состояние может быть либо орлом, либо решкой; классическая теория отвечает на этот вопрос, когда монета перескакивает из одного состояния в другое. В квантовой механике состояние монеты нельзя описать, просто сказав, что оно есть орел или решка; для его описания потребуется ввести вектор, называемый вектором состояния. Вектор состояния существует в двумерном пространстве с координатными осями, помеченными в соответствии с двумя возможными состояниями — орел и решка (рис. 1). Может оказаться, что вектор состояния направлен вдоль

Рис. 1. Монета как пример простейшей квантовомеханической системы. Вероятность выпадения «орла» , вероятность «решки» , так что . Длина вектора состояния .

оси «решка», и тогда вы скажете, что монета определенно находится в состоянии «решка»: если же вектор состояния направлен вдоль оси «орел», то вы скажете, что монета определенно находится в состоянии «орел». В классической механике имеются только два возможных исхода. Однако в квантовой механике

вектор состояния может указывать в любом промежуточном направлении. Если этот вектор указывает в промежуточном направлении, то монета определенно не находится ни в состоянии «орел», ни в состоянии «решка». Однако, взглянув на монету, вы застанете ее в одном из этих двух состояний. Другими словами, в результате измерения реализуется одна из двух возможностей — «орел» или «решка». Когда вы проводите измерение с целью выяснить, находится ли монета в состоянии «орел» или «решка», она будет оказываться в том или ином состоянии с вероятностью, зависящей от величины угла, под которым вектор состояния был ориентирован до измерений.

Вектор состояния можно задать, определив его компоненты, одну из которых я буду называть О («орел»), а другую — Р («решка») (см. рис. 1). Величины О и Р называются амплитудами вероятности. Вероятность обнаружить монету в состоянии «орел» равна квадрату величины О, а вероятность получить решку — квадрату другой амплитуды — Р. Теорема Пифагора говорит о том, что сумма квадратов этих амплитуд равна квадрату длины вектора состояния. Вам также известно, что сумма вероятностей всех

возможных исходов события должна равняться единице. Это означает, что сумма квадратов амплитуд должна быть равна единице, и, следовательно, квадрат длины нашего вектора тоже равен единице. Другими словами, вектор состояния должен иметь единичную длину.

Таким образом, в квантовой механике система описывается вектором состояния единичной длины, а вероятность получить в результате эксперимента тот или иной результат дается квадратом соответствующей компоненты этого вектора. Динамика такой системы описывается законом, в соответствии с которым вектор состояния изменяет свою ориентацию со временем. Правило, гласящее, что в определенный момент вектор состояния повернется на определенный угол, и есть динамическое описание системы. Выходит, что такое описание носит абсолютно детерминированный характер. Временная эволюция вектора состояния при этом полностью предопределена, а неопределенность возникает лишь при попытке узнать, в каком именно состоянии находится система.

Вот и все, что касается квантовой механики. Разумеется, для реальных систем дело обстоит намного сложнее. Например, наша монета занимает какое-то положение в

пространстве, и, следовательно, вектор состояния на самом деле находится в пространстве большего числа измерений, причем каждому возможному положению монеты в пространстве будет отвечать свое направление вектора состояния. Определяя положение монеты, вы будете получать значения координат с вероятностями, равными квадратам соответствующих компонент вектора состояния. Обычно приходится иметь дело с комплексными (т. е. невещественными) бесконечномерными пространствами. Тем не менее, приведенного примера вполне достаточно для наших целей.

Сохранится ли квантовая механика после создания в будущем окончательной физической теории? Я думаю, что да, отчасти из-за огромных успехов квантовой механики на протяжении последних шестидесяти лет, но в еще большей степени из-за ощущения фатальной неизбежности, которое эта теория у нас вызывает.

Весьма примечательно, что среди описанных попыток провести количественную проверку устоявшихся теорий, например, теории относительности, теорий электрослабого и сильного взаимодействий, в литературе очень редко можно встретить упоминание об экспериментах

по количественной проверке квантовой механики. Причина в том, что для количественной проверки теории необходима более общая теория, в которую проверяемая входила бы как частный случай. Тогда вы сможете поинтересоваться, что предсказывает эта более общая теория, а затем посмотреть, согласуются ли опытные данные с теоретическими предсказаниями и с предсказаниями частной теории, которую вы проверяете. В настоящее время мы в состоянии найти обобщение теории гравитации и теории электрослабого взаимодействия. Эти обобщения не очень-то изящны, и в этом одна из причин, по которым мы верим общей теории относительности и

теории электрослабого взаимодействия. Тем не менее, эти обобщения могут принести пользу, если рассматривать их в качестве воображаемого противника, которого мы должны нокаутировать при проверке общей теории относительности и теории электрослабого взаимодействия.

Мне не известно ни одного обобщения квантовой механики, которое имело бы смысл. Другими словами, я не знаю более общей и логически замкнутой теории, которая содержала бы квантовую механику в качестве частного случая. Обычные трудности при попытке обобщить квантовую механику заключаются в том, что либо полная вероятность не получается равной единице, либо возникают отрицательные вероятности. Вам это может показаться странным, но я думало, что все-таки будет полезно найти более общую теорию, чем квантовая механика, и тем самым открыть новые горизонты для экспериментаторов. Бели же это не удастся, то, полагаю, вы согласитесь, квантовая механика наберет еще больше очков по рейтингу фатальной неизбежности.

Но одной квантовой механики недостаточно, поскольку она не является динамической теорией как таковой. Это всего лишь

пустая сцена. Вам придется ввести актеров, т. е. определить конфигурационное пространство — комплексное пространство бесконечной размерности, а также задать динамические правила, по которым вектор состояния изменяется со временем в этом пространстве.

Многие из нас приходят к мысли, что недостающим звеном квантовой механики является один или несколько принципов симметрии. Принцип симметрии — это утверждение, что существуют различные возможности изменить способ описания явления природы, при котором фактически изменяется направление вектора состояния, но остаются неизменными правила, определяющие изменение вектора состояния со временем. Полный набор таких способов изменения точки зрения называется группой симметрии природы. Постепенно приходит понимание того, что группы симметрии — это самое важное, что мы сегодня можем узнать о природе. Я хотел сейчас сказать кое-что, в чем я до конца не уверен, но что вполне может стать реальностью, а именно: все, что нам потребуется сверх квантовой механики для описания физической картины мира, — это определить группу симметрии природы.

Примером симметрий природы являются пространственно-временные симметрии. Эти симметрии говорят о том, что законы природы не зависят от того, где находится и как ориентирована ваша лаборатория, с какой скоростью она движется и сколько времени на ваших часах.

Рассмотрим, например, симметрию относительно поворота в пространстве. Согласно этому принципу симметрии совершенно неважно, как ваша лаборатория ориентирована в пространстве. Чтобы понять, что дает эта симметрия, давайте рассмотрим ее на примере электрона. Как и в случае монеты, мы не станем обращать внимания на движение электрона и будем интересоваться только его спином. Одна из специфических особенностей квантовой механики заключается в том, что конфигурационное пространство спина электрона устроено очень просто. Как и в случае монеты, оно представляет собой двумерное пространство (рис. 2). Если выбрать какое-либо направление, скажем, вдоль вертикальной оси, то относительно этого направления спин электрона может быть ориентирован либо вверх, что означает «вращение» электрона относительно вертикальной оси против часовой стрелки, либо вниз, что означает «вращение» электрона

(см. скан)

Рис. 2. Влияние поворота на спин электрона.

относительно вертикальной оси по часовой стрелке. Таким образом, в пространстве опять имеются два направления, которые, однако, теперь будут называться не «орел» и «решка», а «спин-вверх» и «спин-вниз». Если вектор состояния, описывающий спин электрона, направлен вверх, то электрон определенно находится в состоянии, в котором и спин направлен вверх; если же вектор состояния направлен вниз, то электрон определенно находится в состоянии, в котором и спин направлен вниз. Вектор состояния, однако, может иметь и промежуточную ориентацию. (Например, вы точно знаете, что электрон вращается по часовой стрелке относительно горизонтальной оси; в этом случае его состояние в пространстве «спин-вверх»/«спин-вниз» будет определяться промежуточным направлением между осями «спин-вверх» и «спин-вниз», т. е. это будет отвечать измерению проекции спина на вертикальное направление.) Если теперь изменить ориентацию лаборатории, накренив ее так, чтобы вертикаль отклонилась на угол в, (просто представьте себе, что комната наклонилась), то вектор состояния изменится. На самом деле вектор состояния повернется на угол Математически это следует из того факта, что собственный момент электрона

(спин) равен одной второй в системе единиц, в которой постоянная Планка равна единице. Несмотря на то, что вектор состояния изменился, правило, определяющее изменение вектора состояния со временем, осталось прежним. Именно это мы и понимаем под инвариантностью по отношению к пространственным вращениям, которая является одной из симметрий природы.

Помимо пространственно-временных симметрий существует и много других, называемых внутренними симметриями. Сохранение электрического заряда является примером такой симметрии, которую в физике принято называть калибровочной инвариантностью. Между прочим, некоторые из этих симметрий могут нарушаться. Нарушенная симметрия не является симметрией для решений уравнений, отвечающих наблюдаемым физическим состояниям, однако она останется таковой для основных уравнений окончательной теории. Моя работа была тесно связана с нарушенными симметриями, однако я не собираюсь говорить о них в этой лекции.

Я думаю, теперь понятно, почему принцип симметрии является принципом простоты. Если бы законы природы зависели от

ориентации вашей лаборатории, как это считалось во времена Аристотеля, то в них обязательно имелась бы какая-нибудь ссылка на расположение лаборатории по отношению к чему-либо еще; согласитесь, это было бы очень неудобно. В отсутствие ссылок на ориентацию лаборатории законы природы выглядят проще. На первый взгляд, может показаться, что, взяв за основу квантовую теорию и большое число упрощающих принципов симметрии, можно придумать огромное число в высшей степени вздорных теорий, которые будут совместимы с квантовой механикой и всеми принципами симметрии.

Мне думается, есть два повода для большего оптимизма. Первый из них заключается в том, что одна из необходимых симметрий, по-видимому, почти несовместима с квантовой механикой. Симметрия, известная как лоренц-инвариантность, является составной частью созданной Эйнштейном в 1905 г. специальной теории относительности и говорит о том, что законы природы не зависят от движения лаборатории, если только оно является равномерным и прямолинейным. Данная симметрия и квантовая механика плохо совместимы; их одновременное использование налагает

сильнейшие ограничения на форму любой динамической теории. Например, нам известно, что в любой такой теории у каждой частицы должна быть соответствующая античастица с теми же массой и спином, но с противоположным зарядом. Поскольку есть электрон, то должен существовать антиэлектрон, т. е. позитрон; эту частицу открыли в 1932 г. Поскольку есть протон, то должен существовать и антипротон; эту частицу экспериментально обнаружили в 1955 г. Эти открытия, несомненно, составляют одно из величайших достижений теории Дирака. Создавая свою теорию в 1928-1930 гг., Дирак по-своему пытался примирить квантовую механику со специальной теорией относительности и пришел к выводу о неизбежности существования антивещества. Существуют и другие факты, которые с необходимостью следуют из объединения квантовой механики с теорией относительности и связаны с поведением частиц при попытке поместить несколько из них в одно и то же состояние. Многие из вас помнят — в первой лекции на Дираков ских чтениях Ричард Фейнман показал, что совместного использования принципов квантовой механики и специальной теории относительности достаточно не только для вывода о существовании

античастиц, но также и для объяснения поведения частиц, находящихся в одном состоянии (так называемая связь спина со статистикой).

Сейчас широко распространено мнение, хотя оно и не является окончательно обоснованным, что объединение квантовой механики с теорией относительности осуществимо лишь в рамках квантовой теории поля. Основными объектами квантовой теории поля являются не частицы, а поля; частицы в этой теории представляют собой малые порции энергии полей. Существуют электронное поле, фотонное поле, а также поля остальных фундаментальных частиц.

Имеется и другое основание считать, что в основе всего лежат симметрии и что вместе с квантовой механикой они составляют все, что, по-видимому, нужно знать о физическом мире. Посмотрим, как можно описать элементарную частицу. Чем одна частица отличается от другой? Описывая частицу, вы указываете ее энергию, импульс, спин, электрический заряд, а также задаете значения еще нескольких величин. Набор этих величин и составляет все, что можно сказать о частице; электрон с данными значениями энергии, импульса и т. п. неотличим от любого другого электрона с

теми же значениями этих величин. (В этом отношении элементарные частицы ужасно скучны, вот почему ими с таким интересом занимаются.) Оказывается, что все эти величины— энергия, импульс и т.д. просто определяют поведение частицы при различных преобразованиях симметрии. Например, я уже говорил, что когда вы поворачиваете свою лабораторию, вектор состояния, описывающий спин электрона, поворачивается на половинный угол; поэтому об электроне говорят как о частице со спином одна вторая. Совершенно аналогично (хотя это может и не быть для всех очевидным) энергия частицы просто говорит о том, как изменяется вектор состояния частицы, когда я перевожу стрелки своих часов; импульс — о том, как изменяется вектор состояния, когда вы передвигаете лабораторию на другое место, и т. д. С этой точки зрения на самом глубинном уровне нет ничего, кроме симметрии и откликов на преобразования симметрии. Материя как таковая исчезает, и вся вселенная в целом предстает как огромное приводимое представление группы симметрии природы.

И все же мы по-прежнему очень далеки от нашей цели — поиска окончательных законов природы. Даже если нам будут

известны все симметрии и у нас будет уверенность в правильности квантовой механики, и мы будем знать, что они совместимы друг с другом в рамках квантовой теории поля, то максимум, чего мы сможем достичь — это получить теорию с бесконечным числом неизвестных констант, которые еще надо определить.

Позвольте мне попытаться объяснить это на примере гипотетической вселенной, в которой существует только два сорта частиц — электроны и фотоны; именно эти частицы Дирак рассмотрел в своей знаменитой работе. Давайте обсудим следующее выражение:

Наверное, не все из вас до конца понимают его смысл. К счастью, в дальнейшем изложении нам не надо будет углубляться в детали. Позвольте мне только пояснить использованные здесь обозначения. С — плотность лагранжиана; грубо говоря, эту величину можно рассматривать как плотность энергии. Энергия — это то, что определяет изменение вектора состояния со временем; ту же роль играет и плотность лагранжиана — она определяет эволюцию системы. Плотность С записывается в виде суммы произведений полей и их производных, электронное поле (это функция координат точки в пространстве-времени), — масса электрона. Знак обозначает производную поля, определяющую, как быстро оно изменяется в пространстве-времени. Величины 7 и являются матрицами; о них я ничего не буду говорить, отметив лишь, что 7 называются матрицами Дирака. А — фотонное поле, которое называется электромагнитным потенциалом.

Посмотрим на слагаемые в правой части уравнения (1). В первое слагаемое электронное поле входит дважды; в следующее слагаемое дважды входит фотонное поле, так как

выражение в скобках возводится в квадрат; в третий и четвертый члены электронное поле входит два раза, а фотонное поле — один раз; в пятое слагаемое электронное поле входит пять раз, и т. д. Используя принципы симметрии, мы можем сконструировать бесконечное число последующих членов лагранжиана, содержащих все возрастающее количество полей и их производных. В каждом члене лагранжиана присутствует в качестве сомножителя независимая постоянная, называемая константой взаимодействия. В уравнении (1) константами взаимодействия являются величины Константы взаимодействия определяют, насколько сильно каждый член влияет на динамику. Первые два слагаемых не содержат констант взаимодействия просто потому, что я включил их в определение полей Если бы, например, первый член содержал постоянный множитель, то я бы просто переопределил поле и эта постоянная исчезла. Однако перед каждым из оставшихся членов, число которых равно бесконечности минус два, будет стоять своя константа. В принципе, все эти константы присутствуют здесь и все они неизвестны. Непостижимо, какой прок может быть от такой теории!

В действительности эта теория не так уж плоха. Экспериментально подтверждено, что теория, в которой фигурируют только первые три члена, а остальные отброшены, позволяет описывать электроны и фотоны с потрясающей точностью. Эта теория называется квантовой электродинамикой (КЭД).

Чтобы продемонстрировать здесь, насколько точна КЭД, я сошлюсь на одну из экспериментально измеренных величин — магнитный момент электрона. Вы можете рассматривать электрон как крошечный постоянный магнитик; сила этого магнитика называется магнитным моментом электрона. Магнитный момент удобно измерять не в единицах сантиметр — грамм — секунда, а в так называемой естественной системе единиц. В этой системе величина магнитного момента электрона равна единице; этот результат был впервые установлен Дираком в 1928 г. К этому значению имеются поправки, возникающие из-за того, что электрон окружен облаком постоянно испускаемых и поглощаемых им виртуальных фотонов и электрон-позитронных пар. Эти поправки неоднократно вычислялись; в первый раз, мне кажется, это сделал Швингер; наиболее точный расчет был

произведен Киношитой в 1981 г. Полученный Киношитой результат приводится ниже вместе с известным экспериментальным результатом:

Магнитный момент электрона:

Результат расчета, принадлежащий Киношите:

Наиболее точный экспериментальный результат:

Думаю, вы согласитесь, что эти результаты неплохо согласуются между собой. Неопределенность теоретического значения обусловлена главным образом неопределенностью величины электрического заряда электрона, т. е. неопределенностью значения постоянной Таким образом, несмотря на то, что лагранжиан (1) для фотонов и электронов можно усложнять до бесконечности, на практике, по-видимому, имеют значение только первые три члена.

Многим кажется понятным, почему поведение электронов и фотонов описывается только этими тремя членами в (1). Одно из

возможных объяснений восходит к работе Гейзенберга 1930 г.; еще пять-шесть лет тому назад я бы с радостью привел его без всяких оговорок. Этот довод основан на соображениях размерности, т. е. на анализе размерностей физических величин. Я буду работать в так называемой физической системе единиц, в которой скорость света и постоянная Планка полагаются равными единице. Единственной размерной величиной в этой системе оказывается масса; размерность любой величины может быть выражена через соответствующую степень массы. Например, расстояние и время будут иметь размерность массы в минус первой степени. Сечение, имеющее в обычных единицах размерность площади, в физической системе имеет размерность массы в минус второй степени. Большинство фактически измеряемых величин имеет в естественной системе единиц размерность отрицательных степеней массы. Предположим теперь, что все константы взаимодействия являются просто числами, как и константа в третьем члене (1). (В физической системе единиц значение равно приблизительно и не зависит от выбора единиц измерения массы.) Итак, допустим, что все константы взаимодействия — просто числа, так же как и . Нетрудно

выяснить, какой вклад в измерение будет возникать из-за облака виртуальных фотонов и электрон-позитронных пар при очень высоких энергиях Е. Предположим, что наблюдаемая О имеет размерность , где а — положительное число. (Поскольку в естественной системе единиц скорость света равна 1, то масса и энергия будут иметь одинаковую размерность.) Если энергии Е виртуальных частиц очень велики и намного превосходят энергию и массу частицы в начальном и конечном состояниях, у нас не будет возможности выделить какое-то характерное значение энергии. Вклад виртуальных частиц с высокой энергией в нашу наблюдаемую в этих условиях должен определяться интегралом вида

поскольку это единственная величина, имеющая ту же размерность, что и О. (Нижний предел интегрирования определяется некоторой конечной энергией, условно разделяющей области высоких и низких энергий.) Приведенные рассуждения верны хотя бы потому, что в теории нет ни одной другой величины, имеющей размерность массы или энергии.

Время от времени физики прибегают к такого рода рассуждениям, особенно в тех ситуациях, когда им не удается найти другого подхода к задаче.

Предположим, что существуют и другие константы, имеющие размерность отрицательных степеней массы. Если в наше выражение будут входить некоторая константа с размерностью [масса] константа с размерностью и т.д., то вместо полученной выше простой формулы мы получим сумму нескольких слагаемых вида

Вид этих выражений опять однозначно определяется из условия, чтобы их размерность совпадала с размерностью наблюдаемой О. Интеграл в выражении (3) сходится (т. е. имеет конечное значение), если только величина а положительна. Если, однако, сумма окажется больше, чем а, то интеграл в выражении (4) будет расходящимся. Здесь не имеет значения, какая степень энергии будет стоять в знаменателе в (4), поскольку интеграл разойдется, как только вы дойдете до константы связи

достаточно высокого порядка. Дело в том, что когда у вас наберется достаточно много констант взаимодействия имеющих размерность отрицательных степеней массы, сумма рано или поздно превысит а.

Исходя из вида лагранжиана (1), легко определить размерность констант и т. д. Поскольку расстояние и время измеряются в единицах обратной массы, а результат интегрирования плотности лагранжиана по пространству-времени должен получаться безразмерным, то плотность лагранжиана должна иметь размерность Взяв член , мы видим, что электронное поле имеет размерность поскольку Операция взятия производной имеет размерность и, следовательно, размерность фотонного поля тоже равна Теперь мы можем определить размерность констант взаимодействия. Как я уже говорил, электрический зардд оказывается просто безразмерным числом. Размерность соответствующих констант взаимодействия в слагаемых со все большим количеством полевых переменных и производных с размерностью положительных степеней массы будет определяться все меньшими степенями массы, поскольку

размерность плотности лагранжиана должна оставаться равной в конце концов вы доберетесь до констант типа и G, имеющих размерность отрицательных степеней массы. (Размерность , есть , а размерность ) Присутствие этих членов в (1) приведет к полнейшему несоответствию между теорией и экспериментом для значений магнитного момента электрона; поэтому можно утверждать, что они нужны отнюдь не для повышения точности. Вот уже много лет бытует мнение, что эти члены вообще должны быть отброшены, поскольку они приводят к таким же расходимостям, как и в (4).

Именно к этому мы и стремились — к теории, построенной на базе квантовой механики и нескольких принципов симметрии и имеющей смысл только для лагранжиана совершенно определенного вида. В конечном счете мы хотим почувствовать, что «иначе и быть не могло».

Огромные достижения теорий типа квантовой электродинамики сегодня уже не кажутся столь впечатляющими по целому ряду причин. Вероятно, мне лучше будет сначала рассказать о том, в чем эти успехи состоят. Примером одного из достижений квантовой

электродинамики может служить вычисление магнитного момента электрона. В 1960-х годах те же подходы были использованы в теории слабого взаимодействия; успех этой теории становился все более очевидным на протяжении 70-х годов благодаря многочисленным экспериментальным работам. В 70-х годах те же идеи были использованы в теории сильного взаимодействия; результаты оказались настолько изящными, что в них поверили еще до экспериментальной проверки; впоследствии они также нашли многочисленные экспериментальные подтверждения. Сегодня мы располагаем теорией, основанной на лагранжиане типа (1). Бели добавить несколько индексов полевым переменным, то получится много полей одного и того же типа, и первые три члена в (1) будут описывать так называемую стандартную модель, т. е. принятую сегодня теоретическую модель, в рамки которой укладываются сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия. Похоже, что эта модель способна описать все, что мы можем узнать о физической картине мира с помощью современных ускорителей.

И все-таки мы остаемся неудовлетворенными. Я уже показал, что в общем случае в

теории может содержаться лишь конечное число свободных параметров, таких как ; если вы попытаетесь ввести более сложные виды взаимодействия, то в константах взаимодействия обязательно появятся отрицательные степени массы. Одна из причин нашей неудовлетворенности в том, что число свободных параметров все-таки слишком велико. Если даже допустить, что мы не обнаружим новых частиц сверх уже существующих в рамках стандартной модели, то для согласования теории с экспериментом потребуется ввести семнадцать свободных параметров. Пожалуй, семнадцать параметров — не так уж и много, если этого хватит для описания всех физических явлений, наблюдаемых в наших лабораториях. Однако это все-таки намного больше того, чего мы ожидаем от окончательной теории — ведь пока ниоткуда не следует, почему эти семнадцать параметров должны иметь именно те значения, которые известны нам из эксперимента.

Существует и другая причина быть неудовлетворенным стандартной моделью. Это связано с гравитацией. Как я уже показал, расходимости при вычислении физических величин можно устранить, потребовав, чтобы определяющие интенсивность взаимодействия

константы были безразмерными; единицы их измерения не должны быть отрицательными степенями массы. Однако гравитационная постоянная, определяющая силу гравитационного взаимодействия, не является безразмерной величиной. Значение этой постоянной в физических единицах составляет граммов в минус второй степени, т. е. это как раз случай отрицательной степени массы. Поэтому следует ожидать, что любая теория гравитации, содержащая гравитационную постоянную, приведет к возникновению расходимостей в силу объясненных выше причин. Чтобы избежать расходимостей, многие пытались построить теорию гравитации по образцу квантовой теории поля, которая использовалась для описания слабого, электромагнитного и сильного взаимодействий, однако большинство ученых уже признало поражение. Одна многообещающая попытка была описана Стивеном Хокингом в 1980 г. в его инаугурационной лекции на кафедре, которую до него возглавляли Дирак и Ньютон. В этой лекции он пытался разрешить проблему квантовой гравитации и предложил добавить еще одну симметрию, так называемую - суперсимметрию, которая позволит избавиться от расходимостей и тем самым

приведет к конечной теории. Результаты теоретических исследований показывают, что аргументы в пользу конечности -супергравитации в низших порядках теории возмущений рушатся при учете более высоких порядков, как я полагаю, начиная с шестого порядка и выше. Из-за вычислительных трудностей в действительности еще никому не удалось показать, что эта теория приводит к расходимостям, однако почти никто уже не надеется, что на этих принципах (с суперсимметрией или без нее) удастся построить конечную теорию, объединяющую все известные взаимодействия, включая гравитационное. Тем не менее, я должен признаться, что основная идея моей сегодняшней лекции совпадает с затронутой в лекции Хокинга идеей объединить все известные взаимодействия в рамках единой и непротиворечивой математической теории.

Большинство физиков-теоретиков сейчас пришли к выводу, что предмет нашей гордости — стандартная модель, т. е. варианты квантовой теории поля для сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий, — это всего лишь низкоэнергетическое приближение для более глубокой и совершенно на нее не похожей теории. У нас имеются два

указания на то, что простота законов природы сможет обнаружиться лишь при неизмеримо больших энергиях, чем энергии, с которыми мы сегодня работаем. Одно из них состоит в следующем. Если посмотреть, что происходит с константами взаимодействия электрослабого и сильного взаимодействий при значительно более высоких энергиях, чем те, при которых их сегодня измеряют, то мы обнаружим, что их значения сближаются и становятся равными друг другу при энергиях, примерно на пятнадцать порядков превосходящих массу протона . Кроме того, величина гравитационной постоянной, которая, как вы помните, была ответственна за возникновение расходимостей в теории гравитации, в физических единицах составляет . Все это говорит о том, что если бы мы были в состоянии ставить эксперименты при очень высоких энергиях, то где-то в диапазоне ГэВ мы смогли бы обнаружить по-настоящему простую картину мира, в которой все теории сливаются воедино и которая, возможно, даже вызовет у нас чувство фатальной неизбежности, обрести которое мы так стремимся.

Но пока у нас нет возможности подняться до таких энергий. В обозримом будущем

(на нашем веку) нам не суждено достичь этих энергий на ускорителях, имеющихся в распоряжении человеческой цивилизации. Мы остались почти без экспериментальной поддержки и лишь пытаемся разглядеть очертания окончательных фундаментальных законов природы сквозь разделяющую нас бездну примерно в двенадцать-пятнадцать порядков по энергии.

Вы можете задаться вопросом, почему стандартная модель, о которой я только что говорил, оказывается столь успешной, если она является лишь низкоэнергетическим приближением для окончательных фундаментальных законов природы, которые, по-видимому, будут на нее совсем не похожи. Ответ очень прост, т. е., по крайней мере, нам кажется, что он прост. Дело в том, что все константы взаимодействия с размерностью обратных степеней массы, по-видимому, являются величинами того же порядка, что и отрицательные степени нового фундаментального масштаба энергии. Из соотношения (1) видно, что имеет размерность и мы предполагаем, что по порядку величины она будет равна Аналогично константа G имеет размерность и мы предполагаем, что по порядку величины она

будет равна и т. д. Это невероятно малые величины, поэтому вы их просто не замечаете, когда сравниваете теорию с экспериментальными данными для величин типа магнитного момента электрона. Другими словами, существующие теории неплохо работают, и, разумеется, мы рады этому; печально лишь, что из работоспособности современных моделей отнюдь не следует, что будущая теория окажется хоть сколько-нибудь похожей на них. Стандартная модель хорошо работает только благодаря чрезвычайной малости поправок, которые могли бы существенно ее изменить. Экспериментаторы проделали огромную работу, пытаясь обнаружить явления, обусловленные этими поправками. Мы надеемся, что такие эффекты, как распад протона или наличие массы у нейтрино, будут когда-либо обнаружены, однако ничего подобного пока не наблюдалось. До настоящего времени гравитация остается единственным известным нам явлением из области самых высоких энергий, где, как мы полагаем, прячется истина.

Все это заставляет меня сказать несколько слов о теории струн. Последующие десять минут будут трудны для восприятия из-за технических подробностей. Я не знаю, как изложить необходимые технические детали, не

используя специальной терминологии, однако обещаю вам, что этот разговор не займет много времени.

В течение двух последних лет физики-теоретики были крайне воодушевлены идеей, что фундаментальными составляющими природы при энергиях 1015 —1019 ГэВ являются не поля или частицы, а струны. Чтобы предельно упростить рассмотрение этого вопроса, я собираюсь рассказать здесь только об одном типе струн. Струна такого типа представляет собой маленькую петлю, нарушающую непрерывность пространства-времени, маленький дефект пространства-времени, свернутый в колечко. Струна обладает натяжением и может колебаться, как обычная струна. Колебания струны образуют бесконечную последовательность нормальных мод, каждой из которых отвечает определенный тип частиц. Низшей моде струны отвечает наилегчайшая частица, следующей моде отвечает более тяжелая частица и т. д. Взаимодействие между частицами выглядит так, как будто эти колечки сливаются, а затем опять расходятся. Этот процесс можно описать с помощью поверхности, поскольку при движении в пространстве-времени струна заметает двумерную мировую поверхность (трубку). Взаимодействие между

частицами представляется в виде двумерной мировой поверхности, которая может расщепляться и вновь воссоединяться, поглощая «колечки», имевшиеся в начальном состоянии, и испуская «колечки», отвечающие конечному состоянию. Например, процесс рассеяния, при котором в начальном состоянии было две частицы, а в конечном — три, будет описываться поверхностью, в которую входят две длинные трубки (описывающие частицы в начальном состоянии) и из которой выходят три длинные трубки (описывающие частицы в конечном состоянии). Сама эта поверхность может иметь довольно сложную топологию (рис. 3).

Рис. 3. Диаграмма, описывающая один из вкладов в процесс превращения двух частиц в три частицы.

Поверхность можно описать, задав на ней координатную сетку. Поскольку поверхность двумерна, то положение произвольной точки а на ней задается двумя координатами, которые я назову . Теперь нужно каким-то образом указать, где находится произвольно выбранная точка струны в любой заданный момент времени. Для этого необходимо задать правило, которое ставит в соответствие каждой точке на поверхности точку в пространстве-времени. Математически, это правило записывается в виде Геометрия поверхности определяется заданной на ней метрикой. Как и в случае общей теории относительности, метрика задается с помощью тензора элементы которого зависят от координат; поскольку мы имеет дело с двумерной поверхностью, то индексы и могут принимать значения, равные единице или двойке. Метрика определяет, как вычисляется расстояние между двумя точками на поверхности: расстояние между двумя бесконечно близко расположенными точками и определяется как

Согласно принципам квантовой механики в фейнмановской формулировке, для вычисления

амплитуды вероятности (это та самая величина, которую надо возвести в квадрат, чтобы получить вероятность процесса) нужно просуммировать амплитуды для всех возможных путей перехода из начального состояния в конечное. В теории струн нужно просуммировать по всем двумерным поверхностям, описывающим данный процесс. Каждая поверхность задается двумя функциями которые были определены выше. Все, что осталось сделать для вычисления вероятности, — это найти для каждой поверхности значение величины а затем просуммировать по всем поверхностям. Функционал называется действием; действие функционально зависит от и и определяется выражением

Оживленный интерес к струнам обусловлен тем, что они впервые позволили построить теорию гравитации без расходимостей, которые возникали в более ранних теориях. В известном смысле, теоретическое открытие гравитации было сделано именно в рамках теории струн. (Мне, разумеется, известно, что о гравитации знали задолго до создания теории струн.) Основы этой теории были заложены на рубеже 60-х и 70-х годов, а ее появление связано с попытками объяснить природу сильного взаимодействия в ядре. Вскоре выяснилось, что поверхности с длинными тонкими трубками (рис. 4) отвечают безмассовой частице со спином 2, испускаемой в виде кванта излучения в промежутке, разделяющем начальные и конечные состояния частиц. (Везмассовые частицы — это просто частицы, движущиеся со скоростью света, а их спин измеряется в тех же единицах, в которых спин электрона равен одной второй.) Появление этой частицы вызвало тогда ужасное замешательство. К тому времени уже было известно, что такими же свойствами должен обладать квант гравитационного поля — гравитон, но несмотря на это в конце 60-х и начале 70-х годов по-прежнему продолжали считать, что предметом теории струн являются

Рис. 4. Пересечение струн с испусканием и поглощением безмассовой частицы со спином 2.

только сильные взаимодействия, а вовсе не гравитация. Эти обстоятельства обусловили утрату интереса к теории струн в начале 70-х годов.

В 1974 г. Шерк и Шварц выдвинули гипотезу о том, что струнную теорию следует рассматривать в качестве теории гравитации, однако тогда никто не воспринял это всерьез. Лишь благодаря работам Грина, Гросса, Полякова, Шварца, Виттена и их молодых коллег физики начали постепенно соглашаться с тем, что теория струн хорошо подходит на роль окончательной единой физической теории с энергетической шкалой порядка ГэВ.

Вам, вероятно, может показаться, что такая перспектива не слишком привлекательна. Чтобы в общих чертах обрисовать теорию

струн, мне все-таки придется сказать, что такое действие. Действие — это интеграл от лагранжиана: выражение под знаком интеграла в (5) есть лагранжиан, или плотность энергии, который в квантовой электродинамике записывался в виде (1). И все же вы можете заявить: «Откуда это вытекает? Кто сказал, что это правильная теория мироздания? Может быть, из эксперимента и известно, что обычные струны ведут себя именно так, ну и что из того? Какое все это имеет отношение к флуктуациям геометрии пространства-времени? Куда подевалось бесконечное число добавочных членов в лагранжиане? И вообще, почему струны?»

На самом деле эта теория имеет вполне рациональное объяснение в терминах используемых в ней симметрий, хотя оно и не вполне очевидно. С действием (5) связано несколько симметрий. Так же, как и в случае общей теории относительности, задание метрики порождает симметрию по отношению к преобразованиям координат Имеется также и другая, менее очевидная симметрия, справедливая только в двумерном случае. Эта симметрия связана с локальным изменением масштаба расстояний — так называемым преобразованием Вейля, при котором метрический

тензор умножается на произвольную функцию координат: . И, наконец, имеется еще одна довольно очевидная симметрия по отношению к преобразованиям Лоренца: Первые две симметрии кажутся совершенно необходимыми для нашей теории. Без этих симметрий попытки вычислить сумму по всем поверхностям приводили бы к бессмысленным результатам. Без этих двух симметрий вы либо получите отрицательные вероятности, либо полная вероятность не будет равна единице. На самом деле есть очень тонкие квантовомеханические эффекты, способные нарушить эти симметрии. Квантовые аномалии будут «портить» эти симметрии до тех пор, пока вы не станете использовать подходящую комбинацию обычных и спиновых координат (о которых я пока еще ничего не сказал). Если быть очень аккуратным, то квантовые аномалии исчезнут, симметрии останутся, и суммирование по всем поверхностям будет иметь смысл.

В математике есть одна очень красивая теория, которая напрямую связана со свойствами двумерных поверхностей, инвариантных по отношению к координатным преобразованиям и преобразованию Вейля. Эту теорию

создал Риман в начале девятнадцатого столетия. Большинство ее результатов оказались совершенно необходимыми для понимания физики струн. Например, все что требуется для описания топологии произвольной двумерной поверхности (точнее, произвольно ориентированной замкнутой поверхности), это указать количество ее «ручек». Если число «ручек» задано, то для описания геометрии достаточно задать конечное число параметров. Проводя суммирование по поверхностям, по этим параметрам нужно будет проинтегрировать. Число этих параметров равно нулю, если «ручек» нет, двум — если есть одна «ручка», и если число ручек

Именно эти старые теоремы позволяют нам провести суммирование по всем поверхностям. Если бы не было симметрий, вы не смогли бы проделать необходимые вычисления, а если бы у вас что-нибудь и получилось, то результат, скорее всего, оказался бы бессмысленным. Вот почему симметрии представляются совершенно необходимыми. Мы вплотную подошли к самому главному; то, что я сейчас скажу, чрезвычайно важно: симметрии определяют действие. Структура функционала действия и, следовательно,

сама динамика однозначно определяются этими симметриями. (С некоторыми оговорками сказанное очень близко к истине.)

Иначе говоря, сюда просто невозможно что-либо добавить. Не существует никаких дополнительных членов, которые были бы совместимы с данными симметриями. Мне кажется, с динамической теорией такое случается впервые, когда задание симметрий полностью определяет характер динамики, т. е. полностью определяет изменение вектора состояния со временем. Я думаю, что именно по этой причине некоторые физики испытывают сейчас такое воодушевление.

Эта теория выглядит фатально неизбежной. В эту теорию нельзя внести никаких изменений, не испортив ее; другими словами, если вы попытаетесь что-нибудь сделать с этой теорией, например, введете добавочные члены или по-другому определите величины, то вы останетесь без симметрий, а без симметрий ваша теория потеряет смысл. В этом случае суммирование по мировым поверхностям будет давать бессмысленные результаты. Именно по этой причине, не говоря уже о способности теории струн описывать гравитационные явления, нам кажется, что теперь у нас появилось больше поводов для оптимизма при оценке шансов приблизиться к разгадке окончательных законов природы.

Авторы этих теорий и те, кто, как и я, просто стараются оставаться в курсе событий, пытаются разобраться в этих теориях, чтобы выяснить, к чему они приводят при обычных энергиях и согласуются ли они со стандартной моделью. Мне, вероятно, следует остановится на этом вопросе более подробно. Я уже говорил, что в теории струн нет свободных параметров, и это действительно так, в этой теории нет никаких констант.

Однако тут есть одна тонкость. Координаты точки на струне измеряются в естественных «струнных» единицах, но если вы захотите измерять расстояния, скажем, в сантиметрах, то вам придется добавить в (5) постоянный множитель. Этот постоянный множитель называется натяжением струны и служит для перехода от «струнных» единиц к обычной метрической системе. Натяжение струны имеет размерность квадрата энергии и оценивается (исходя из величины гравитационной постоянной) приблизительно как ; это значение задает масштаб энергетической шкалы теории хтрун.

Когда я говорю «разобраться в этих теориях», то имею в виду, что нужно выяснить, к чему эти теории могут привести при

существенно меньших, чем , энергиях, при которых мы ставим эксперименты. На данном этапе основная задача заключается в том, чтобы выяснить, смогут ли эти теории привести к стандартной модели, описывающей слабое, электромагнитное и сильное взаимодействия. Если да, то возникает второй вопрос: что теория струн сможет сказать о семнадцати параметрах, содержащихся в стандартной модели? Сможем ли мы с ее помощью непосредственно вычислить массу электрона, кварков и т. д.? Если да, то проблема будет решена. Как считают многие из нас, эта теория настолько изящна, что обязательно войдет в число окончательных фундаментальных законов физики, и это самое важное, что у нас есть на данный момент.

А теперь позвольте ненадолго остановиться на вопросе о том, что подразумевается под изяществом физической теории. В заключение своей лекции мне хотелось бы вступить в диалог с тенью Дирака, душа которого, я полагаю, витает где-то неподалеку от Кембриджа. Однажды я стал свидетелем, как в своей лекции, адресованной в основном студенческой аудитории, Дирак сказал, что в первую

очередь следует заботиться о красоте уравнений, а не об их физическом смысле. Мысль о том, что студенты будут подражать Дираку, была воспринята присутствовавшими там преподавателями с тяжелым сердцем. Отчасти я согласен с Дираком, но только отчасти. Красота служит нам ориентиром в занятиях теоретической физикой, однако здесь речь идет не об изяществе написанных на листе бумаги уравнений, но о красоте фундаментальных принципов, о том, насколько логично они будут увязаны между собой. Мы стремимся найти принципы, которые выглядели бы фатально неизбежными. Здесь не имеет значения, насколько изящными окажутся уравнения теории.

Например, общая теория относительности Эйнштейна основана на дифференциальных уравнениях второго порядка; то же верно и в отношении теории тяготения Ньютона. С этой точки зрения обе теории одинаково красивы, но в теории Ньютона меньше уравнений и на этом основании ее можно было бы счесть более изящной. Однако общая теория относительности Эйнштейна выглядит более неизбежной. В рамках этой теории вам не уйти от закона обратных квадратов, по крайней мере в пределах

области его применимости, т. е. при малых скоростях и на достаточно больших расстояниях.

Видоизменяя эйнштейновскую теорию, вы неизменно будете получать закон обратных квадратов до тех пор, пока не сломаете ее окончательно. Напротив, в теории Ньютона вы можете получить какую угодно отрицательную степень расстояния. Следовательно, эйнштейновская теория выглядит более красивой, поскольку она оказывается более строгой и неизбежной.

И все же в одном отношении я должен согласиться с Дираком. Занимаясь теоретической физикой, мы часто топчемся на

месте, потому что не до конца понимаем существо тех принципов, на которые опираемся. В этих условиях изящество математических формулировок зачастую становится единственным надежным ориентиром. Очень часто красивые математические построения остаются в физических теориях даже после того, как со временем выясняется ошибочность принципов, положенных в основу этих теорий. Например, разработанная Дираком теория электрона явилась попыткой объединения квантовой механики со специальной теорией относительности на основе релятивистского обобщения уравнения Шредингера. Я думаю, что сегодня от такого подхода уже отказались.

В настоящее время большинство ученых считает, что объединение специальной теории относительности с квантовой механикой осуществимо только в рамках квантовой теории поля. (Теория струн — это разновидность квантовой теории поля.) Именно по этой причине идеи, на которых Дирак построил свою теорию, сейчас не используются; несмотря на это, созданное Дираком изящное уравнение стало неотъемлемой частью теоретического багажа любого физика; это уравнение выдержало испытание временем и останется в физике навсегда. Разумеется, я не знаю, показалась бы Дираку теория струн достаточно изящной для того, чтобы она могла претендовать на роль составной

части будущей фундаментальной теории. Если даже и нет, то я не думаю, что он не одобрил бы того, что мы пытаемся сейчас делать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>