Главная > Физика > Элементарная квантовая теория поля
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Локальные наблюдаемые.

До сих пор мы рассматривали наблюдаемые, которые имели форму интегралов по всему пространству. При этом по существу предполагалось, что подынтегральное выражение представляло собой соответствующую локальную плотность, а интеграл по конечному объему — часть наблюдаемой величины, содержащуюся в этом объеме. Однако величины, проинтегрированные по всему объему могут не коммутировать с билинейными по полю операторами, такими как плотность импульса Поэтому состояния, с которыми мы до сих пор имели дело, не являются, вообще говоря, собственными состояниями таких локальных величин как плотность импульса. Это станет совершенно очевидным в следующей главе, где рассматриваются непосредственно сами состояния.

Для локальных величин имеется существенное отличие между релятивистским и нерелятивистским случаями, которые мы сейчас изучим. Если определить число частиц в объеме v как

То для нерелятивистского поля

а для релятивистского —

В нерелятивистском. случае из перестановочных соотношений (4.22) следует, что

независимо от. того, перекрываются объемы или нет. Это значит, что можно говорить об определенном числе нерелятивистских частиц, например 1, в любом объеме независимо от того, насколько он мал или велик. Правда, это число не остается постоянным, поскольку

и поверхностный интеграл, к которому сводится выписанное выражение, остается конечным для конечных объемов; однако это означает только то, что волновой гакет для локализованной частицы расползается с течением времени. Для релятивистского поля рестановочное соотношение (5.28) не имеет места, даже если объе мы не перекрываются. Это происходит из-за дополнительного

множителя вследствие которого оказывается не равным нулю коммутатор

Вид этого коммутатора можно найти следующим образом:

Подстановка дает

Мы видим, таким образом, что коммутатор ведет себя как функция Ханкеля первого рода которая обладает следующими свойствами

Поведение этого коммутатора при асимптотически больших определяется в (5.296) в основном экспонентой вычисленной в комплексном полюсе

Соответственно для коммутатора локальной плотности с плотностью в другой точке пространства гвзятой в тот же момент времени t, мы находим

где

Здесь мы использовали алгебраическое тождество

и условие

Интеграл для в той форме, как он приведен здесь, расходится, однако его можно привести к сходящемуся посредством выделения нужного числа степеней k в знаменателе за счет дифференцирования по . Для больших расстояний характер поведения так же определяется экспонентой при

Фиг. 5.1. Распределение мезонов вблизи двух неперекрывающихся объемов и, и разделенных расстоянием s, много большим комптоновской длины волны частиц

Таким образом, для рассматриваемого релятивистского поля коммутатор локальной плотности с плотностью, взятой в другой пространственной точке, но в тот же момент времени стремится к нулю, только если точки разделены интервалом . То же утверждение сохраняется и для чисел частиц, заключенных в двух непересекающихся объемах как это показано на фиг. 5.1. Здесь -комптоновская длина волны частицы; например для -мезона она равна 10 см.

Поэтому невозможно утверждать, что один -мезон (или другое определенное число их) находится в объеме, границы которого определены с точностью порядка см или большей. Это было бы справедливо, только если бы это состояние было собственным

состоянием с собственным значением 1 для рассматриваемого объема и собственным значением 0 для всех соседних объемов, расположенных на расстоянии не более чем от первого. Однако вследствие некоммутативности таких близлежащих это невозможно. Лучшее, что можно сделать в релятивистском случае, — это получить равное нулю собственное значение для тех V, которые отстоят от объема, содержащего частицу на расстояниях, много больших . Физически это связано с тем фактом, что столь точное определение границы, требует использования внешнего поля, частично содержащего длины волн . В таком поле могут возникать новые частицы. Вследствие тождественности частиц в теории поля новые частицы невозможно отличить от старых. Поэтому рассматриваемое состояние перестает быть. одночастичным.

Таким образом, оказывается, что фундаментальные принципы релятивизма и квантовой теории приводят к важной модификации наших понятий о частицах. В то время как в нерелятивистском пределе они ведут себя как точки и не существует нижнего предела для величины объема, в который их можно заключить, в релятивистской теории поля кванты поля имеют размеры, грубо говоря, равные их комптоновской длине волны. В этом заключается начальная причина уменьшения электромагнитных взаимодействий, когда в рассмотрение включаются длины волн Электрон, например, ведет себя как заряженная сфера радиуса , а эффект меньших длин волн исчезает при усреднении. Поэтому сечение рассеяния фотонов на электронах для фотонных длин волн начинает падать [6]. Аналогичным образом этот же эффект уменьшает связь -электрона в атоме водорода, поскольку размеры электрона не допускают для него полного использования узкой сингулярной части кулоновского потенциала.

Подводя итог, мы можем сказать, что в квантовой теории поля наблюдаемые ведут себя как соответствующие величины в случае ансамбля свободных частиц. Вопрос о размерах частиц и другие свойства локальных величин будут глубже рассмотрены при обсуждении типичных собственных состояний в следующей главе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление