6.2. Двухчастичные состояния.

Чтобы получить представление о некоторых следствиях применения статистики Бозе — Эйнштейна к квантам поля, мы в заключение изучим интерференционные и флуктуационные явления. Для простоты обратимся к нерелятивистскому полю. Результаты для релятивистского поля усложняются лишь дополнительными эффектами, обсужденными выше.

Интерференционные эффекты появляются уже в двухчастичных состояниях. Для нерелятивистского случая наиболее общее состояние такого типа имеет вид

и принадлежит собственному значению N, равному 2. Условие нормировки (6.10) записывается как

Второй член в (6.11) появляется вследствие бозе-статистики для квантов поля. По существу, мы можем ограничиться рассмотрением симметричной части в (6.10), поскольку часть, нечетная по не вносит никакого вклада. Действительно, так как коммутируют, то произведение четно по , и интеграл от него с нечетной функцией исчезает.

С описанными фактами связан ряд специфических свойств, которые лучше всего проиллюстрировать, вычислив среднее значение . Мы сделаем это для двухчастичного состояния, для которого имеет вид так что частицы были бы независимы, если бы они были различимы. Далее мы положим, что каждая нормирована на единицу, т. е. , так что правильным образом нормированная полная волновая функция имеет вид

где

В этих обозначениях

Этот результат получен после перестановки всех операторов направо и операторов налево и использования равенства

. Мы видим, что если волновые функции ортогональны, , то плотность числа частиц представляет собой сумму отдельных плотностей

как и должно быть для независимых частиц (см. фиг. 6.1, а).

Фиг. 6.1. Интерференционные эффекты в распределении плотности двух частиц. В случае а показаны две неинтерферирующие частицы. Случай б соответствует двум интерферирующим частицам. В отсутствие интерференции плотность была бы равна действительная плотность равна Видно, что частицы имеют тенденцию к слипанию в области интерференции.

Такая ситуация, в частности, имеет место в классическом пределе неперекрывающихся волновых пакетов, когда частицы можно различить, прослеживая их траектории. Если, однако, , то в выражении плотности появляется интерференционный член, который

благодаря знаменателю в (6.14) приводит к уменьшению плотности в области, где не перекрываются, и, следовательно, к увеличению ее в среднем в области перекрытия. Это изображено на фиг. (6.1, (У). Вследствие этого свойства бозоны имеют естественную тенденцию к слипанию. Таким образом, мы видим, что не только одиночная частица может интерферировать сама с собой (это — обычный принцип суперпозиции в квантовой механике), но две тождественные частицы также могут интерферировать друг с другом.

Фиг. 6.2. а — полярные диаграммы для положительных амплитуд в случае гипотетического а — -рассеяния; б и в — распределение интенсивности соответственно без учета и с учетом интерференции.

Интерференция, являющаяся другой формой требования симметрии волновой функции, никогда не появляется между частицами различных полей (см. гл. 7); она подчеркивает то обстоятельство, что тождественные частицы представляют собой возбуждения одного и того же поля. Из сказанного вытекает один важный вывод относительно рассеяния двух тождественных частиц. В этом случае интенсивность рассеяния не является простой суммой интенсивностей обеих частиц, а включает интерференционный член того же типа, что и в (6.14). Если, например, при рассеянии -частиц на амплитуда в системе центра масс велика для рассеяния вперед, амплитуда должна быть велика при рассеянии назад, так что полная интенсивность может быть аномально большой около 90°, как это показано на фиг. 6.2.