Главная > Разное > Эволюция атмосферы, биосферы и климата
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Математические модели популяционной динамики

Вместе с развитием общих идей в науке шло стремительное расширение фронта исследовательской деятельности — не только вширь, но и вглубь, сопровождаясь усложнением объекта исследований, связей и причин, которые определяют возникновение и развитие того или иного явления или процесса. Во все большей и большей степени в естественно-научных исследованиях начинает использоваться математика.

Математизация естественно-научных знаний важна не только для получения каких-либо количественных оценок. Использование математики и ее методов анализа

вносит в естественные науки математическую манеру мышления, ее дисциплину, дает возможность связать в единое целое результаты отдельных локальных исследований — это первый и важнейший шаг в реализации принципов системности, позволяющий опираться в междисциплинарных исследованиях на единый язык.

В XV.III и XIX веках математика сделалась естественным инструментом физики и инженерных наук, причем происходило столь глубокое слияние этих дисциплин с математикой, что трудно, а может быть, и не правомочно говорить о математике только как об инструментарии. Математическая культура, математическое мышление сделались естественными атрибутами физики. Новые факты, новые механизмы чаще возникали сначала как свойства изучаемых математических моделей, а затем (иногда через десятилетия) устанавливались экспериментальным путем.

В XX веке математический анализ стал использоваться и для разнообразных проблем биологии, и первым объектом, для исследования которого был использован математический анализ, был механизм борьбы за существование»

Известно много версий, объясняющих тот интерес, который возник у В. Вольтерра к проблемам биологии. Сам он писал, что его заинтересовали те закономерности в изменении видового состава уловов рыб в Адриатике, на которые обратил внимание его зять — ихтиолог У. д’Анкона. Оказалось, что после первой мировой войны в уловах начали преобладать хищные рыбы. Как бы ни было на самом деле, но очень важно, что именно эта центральная проблема эволюции — механизмы действия естественного отбора, проявляющиеся на уровне популяций и определяющие характер динамики численностей, — оказалась в сфере научных интересов математика. Публикации В. Вольтерра начали появляться в двадцатых годах. Но только в 1931 г. вышла его книга «Legons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie». Ныне она сделалась классикой, и для каждого начинающего изучать применение математики в биологических проблемах, эта книга бывает первым учебником.

Становление математической биологии очень показательно и в методическом отношении. С чего должно

начинаться построение любой математической модели? В чем состоит ее основное содержание? Математическая модель описывает, прежде всего, те ограничения, те принципы отбора, которые выделяет реально возможное движение из числа мыслимо допустимых. И такими принципами отбора в первую очередь являются законы сохранения. Современная физика начиналась с законов сохранения, и первым ее принципом отбора был закон сохранения импульса. В каких бы - условиях ни происходило движение, какие бы другие факторы его ни определяли, но закон сохранения импульса выделяет то множество возможных траекторий развития процесса, среди которых только и может быть изучаемый процесс. Законы сохранения (балансовые соотношения) — это основа любой физической модели.

Точно так же и в биологии. Знаменитые уравнения Вольтерра — это балансовые соотношения, описывающие балансы биомасс хищников и жертв.

Балансовые соотношения (законы сохранения) могут нести много важной и интересной информации. Математическая модель, составленная из этих соотношений, описывает общие свойства множества возможных состояний и их изменение во времени. Уравнения Вольтерра являются феноменологической моделью — они описывают наблюдаемые связи. Все подобные модели можно рассматривать как параметризацию процессов, носящих случайный характер. В самом деле, взаимодействие популяций жертв и хищников — это результат большого количества локальных встреч, локальных взаимодействий, которые происходят в рамках определенного поведенческого стереотипа. Поэтому, изучая механизм развития популяций, мы должны оперировать с некоторыми средними величинами. По терминологии, которая принята в исследовании операций, уравнения Вольтерра — это уравнения динамики средних.

В физике огромную роль играет анализ локальных взаимодействий, и он широко используется для построения макромоделей. Классическим примером такого анализа является вывод уравнений Навье — Стокса из уравнений свободного молекулярного течения Больцмана. Но подобный уровень построения моделей в динамике популяций — это, вероятно, далекое будущее популяционной динамики; и модели, которые возникают при исследований тех или иных процессов, еще долгое время будут феноменологическими.

В. Вольтерра не случайно считается отцом нового научного направления. Его результаты имели многочисленных последователей. Но одновременно с ним работал и ряд первоклассных исследователей. И среди них надо назвать прежде всего имена А. Лотки и В. А. Костицына.

Первые публикации А. Лотки, как и работы В. Вольтерра, относятся к двадцатым годам. Более или менее систематически они были собраны в его книге «Elements of physical biology» («Элементы физической биологии»), вышедшей в 1924 г. В 1934 г. выходит его- двухтомная монография «Theorie analytique des associations biologi-ques» («Аналитическая теория биологических ассоциаций»). В ней автор суммирует свои исследования в области динамики популяций. Подходы, принципы построения и анализа моделей были очень близки к тому, которые развивал В. Вольтерра. Ныне уравнения, описывающие взаимодействие популяций, принято называть уравнениями Вольтерра — Лотки. В тридцатые годы в Парижепубликуются две работы В. А. Костицына: «Simbiose, parasitisme et evolution» (1934 г.) и «Biologie mathematique» (1937 г.). «Математическая биология» вышла, с предисловием В. Вольтерра, в котором дается высокая оценка не только изложению основных проблем популяционной динамики, но и личному вкладу В. А. Костицына в это новое направление научных исследований. Упомянутые книги В. А. Костицына лежат в русле исследований В. Вольтерра. Он является верным сподвижником и соратником знаменитого итальянского математика. По классификации, которая приведена в конце предыдущего параграфа, эти исследования принадлежат теории биосферы — они описывают и изучают те эволюционные механизмы, которые определяют развитие биологических сообществ.

Но с именем В. А. Костицына связано еще одно направление исследований — оно и представлено в книге «Эволюция атмосферы». В. А. Костицын — соратник и последователь В. И. Вернадского. Он пытается ставить и решать задачи, которые уже следует отнести к теории ноосферы и без решения которых вряд ли можно говорить о развитии этой теории. Эта работа В. А. Костицына посвящена анализу общих проблем развития атмосферы и некоторых механизмов, которые определяют ее динамику.. По-видимому, «Эволюция атмосферы» В. А. Костицына — это первая математическая работа, относящаяся к проблемам ноосферы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление