Главная > Разное > Эволюция атмосферы, биосферы и климата
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. О периодических решениях уравнений модели В. А. Костицына

Рассмотрим уравнения (7), (8) из работы В. А. Костицына. Они есть не что иное, как классическая система «хищник — жертва» В. Вольтерра. Уже в его книге было показано, что они имеют периодические решения. Для доказательства В. Вольтерра использовал метод фазовой плоскости (о котором ниже). Этим уравнениям посвящена огромная литература, однако, к сожалению, не

существует достаточно полного и логически стройного исследования системы Вольтерра. Поэтому мы сочли себя вправе дать это исследование здесь (естественно, что при этом будут неизбежны повторы).

Начнем с того, что сам факт существования периодических решений следует из общей теоремы о системах Ляпунова. В самом деле, правые части уравнений (7), (8) являются аналитическими функциями и допускают аналитический первый интеграл (9). Но тогда согласно общей теории систем Ляпунова эти уравненйя имеют периодическое решение в окрестности точки покоя:

причем эти решения представимы в виде рядов по степеням с, где с — начальное, отклонение функции и или от положения равновесия

Для построения периодических решений можно использовать разнообразные аналитические и графические методы.

1. Метод Ван-дер-Поля. Положив

представим уравнения (7), (8) в следующей форме:

Для анализа этой системы используем простейший вариант метода усреднения (метод Ван-дер-Поля). Для этого введем новые переменные, называемые переменными Ван-дер-Поля:

Подставим (4.3) в (4.2) и разрешим полученное уравнения относительно с и После очевидных преобразований получим

Правые части системы (4.4) являются периодическими функциями «быстрой» переменной периода Следовательно,

для получения асимптотического решения с точностью нам достаточно найти решение системы, полученной из (4.4) осреднением по . Так как

то после осреднения получим

И в первом приближении для периода мы получаем формулу

а величины определяются выражениями

Таким образом, в рамках метода Ван-дер Поля решения уравнений (4.2) совпадают с решением линеаризованных уравнений: изменения переменных и испытывают гармонические колебания с постоянной частотой которая не зависит от амплитуды с. Этот результат следует из общей теории систем Ляпунова. Разложение периода Т по степеням амплитуды с не содержит парной степени. Таким образом, если рассмотреть Следующие приближения, то мы получим выражение вида

т. е. при малых отклонениях от положения равновесия зависимостью периода колебаний от амплитуды можно пренебречь, не уменьшая точности.

2. Метод Крылова—Боголюбова. Для того чтобы изучить более подробно свойства движений, которые описывают уравнения (4.2), необходимо использовать обпщй метод осреднения. Рассмотрим уравнения (4.4). Предполагая отклонение] малым, введем малый параметр е:

где Тогда система (4.4) примет вид

Для того чтобы отделить быстрые переменные от медленных, введем новые переменные:

где z и удовлетворяют уравнениям

На функции наложим еще условия ограниченности при Подставив выражения (4.8) и (4.9) в уравнения (4.7), мы приведем их к виду

Обозначив через к номер итерации, проведем вычисление последовательных приближений для решения системы (4.10) по следующей схеме:

Положив вычислим первое

приближение:

Так как правые части уравнений (4.12) — периодические функции от то для того, чтобы система (4.12) допускала ограниченные решения при необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правых частей (4.12) было равно нулю. Отсюда получаем

и, следовательно,

Как впервые показал В. М. Волосов, точность приближенного решения не зависит от выбора функций и Мы их примем равными нулю. Проведя в (4.14) интегрирование, получим окончательно

Условия (4.13) и (4.9) нам дадут, что в этом приближении

Таким образом, окончательно получаем

Возвращаясь, наконец, к исходным переменным , вместо формул (4.6) получим следующие выражения:

Формулы (4.16) позволяют уже гораздо более точно рассчитать характер изменения функций и в зависимости от начального отклонения от положения равновесия.

3. Метод фазовой плоскости. Для исследования свойств и характера решений уравнения (4.2) могут быть использованы графические методы, традиционные для теории колебаний. Используем интеграл (9) из работы В. А. Костицына

Представим его в следующем виде:

и для заданного значения Н построим функции в двух взаимно перпендикулярных нлоскостях (см. рис. 2). Рассмотрим точку 1, отвечающую максимуму Ей на оси и отвечает точка . Так как то, проведя прямую, параллельную оси v, найдем точки что на плоскости этим значениям будут соответствовать две точки:

Рассмотрим затем на оси точку 2, которой отвечает минимум функции На оси v ей отвечает некоторая точка , а на оси — точки Соответственно на плоскости ей отвечают точки Тем самым мы нашли крайние точки между абсциссами и

Рис. 2.

ординатами которых располагается вся фазовая траектория нашей системы.

Дальнейшее построение совершенно очевидно. Рассмотрим на осях какую-либо точку 3, лежащую между точками 1 и 2. Ей отвечают два значения оси и и два значения на оси v; на плоскости этим значениям будут отвечать уже четыре точки и т. д. Соединяя эти точки кривой, мы получим замкнутую траекторию системы.

4. Зависимость характера колебаний концентраций биогенных элементов от интенсивности фотосинтеза. Интенсивность фотосинтеза не остается величиной постоянной и изменяется вследствие многих факторов (изменение средней температуры, замена одних растительных видов другими и т. д.). Ее изменекие непосредственно сказывается на характере всего геохимического цикла. Поскольку эти изменения проходят достаточно медленно, то предположим, что параметр зависит от медленного времени:

В. А. Костицын заметил, что этот случай может быть рассмотрен в рамках предлагаемой теории. Проведем необходимые вычисления. Введем снова переменные Ван-дер-Поля (4.3). Подставим эти величины в уравнения (4.2) и, принимая во внимание, что величина зависит от времени, получим следующие уравнения, аналогичные (4.4):

После осреднения по система (4.18) примет следующий вид:

отсюда

где произвольные постоянные. Таким образом, окончательно мы будем иметь следующие формулы:

Формулы (4.20) показывают, что с увеличением интенсивности фотосинтеза возрастающая функция) будет увеличиваться среднее значение биомассы животных, расти частота осцилляции биогенных элементов в системе растения — животные и уменьшаться амплитуда колебаний величины биомассы растений. Подобным же

образом можно проанализировать и влияние изменения 66 Времени остальных коэффициентов.

5. Модель атмосферы В. А. Костицына — система с вращающейся фазой. Системой с вращающейся фазой принято называть систему уравнений следующего вида:

где — вектор произвольной размерности, а у — скаляр; при условии, что правые части системы — периодические функции быстрой переменной у периода Т, а - малый параметр, показывающий, что скорость изменения переменной значительно меньше скорости изменения «фазы» у. Для системы (4.24) могут быть эффективно использованы методы асимптотического анализа, основанные на идее Н. Н. Боголюбова и А. М. Крылова о разделении движений. Частный случай применения этого метода уже был использован в данном параграфе. Первое приближение — так называемые укороченные уравнения Ван-дер-Поля — получается из системы (4.21) простым осреднением. Если частота не зависит от то для системы (4.21) укороченные уравнения имеют вид

где

причем на интервале порядка связь решений роченных и точных уравнений задается оценкой

Если частота со зависит от то укороченные уравнения следует брать в форме

а оценка будет

т. е. в этом случае точность вычисления фазы оказывается меньше, чем точность вычислений медленно изменяющейся переменной . Для обеспечения оценки порядка для фазы приходится вычислять вектор с точностью до т. е. в этом случае уже нельзя ограничиться приближением Ван-дер-Поля, и нужно брать следующие

Приближений в процедуре Н. Н. Боголюбова. После этих предварительных замечаний рассмотрим систему уравнений (13) — (18) работы В. А. Костицына. Обозначим через w четырехмерный вектор с компонентами у, z и s. Тогда систему (13) — (18) мы сможем представить в виде

Уравнения (4.25) являются представителями того класса уравнений, которые типичны для описания процессов, протекающих в биосфере. Первое уравнение описывает медленную эволюцию параметров биосферы. В общем случае это уравнение может быть весьма сложной природы. Кроме того, его правая часть может зависеть также от переменной w:

Два других уравнения описывают некоторый циклический процесс, характерное время которого значительно меньше характерного времени изменения «фона», т. е. вектора w. Этот процесс представляет и геохимические циклы, и циклическое развитие растений и т. д. Одним словом, система вида (4.25) встречается весьма часто в экологических исследованиях и имеет смысл рассмотреть ее более подробно.

В том случае, который изучается в работе В. А. Костицына, функция линейная функция от и и у. Введем новые переменные

где определяются формулами (4.3). Тогда система (4.25) будет приведена к следующей форме:

Рассмотрим первое из этих уравнений. Мы его можем представить в виде

причем функция будет периодической функцией от Поскольку уравнения В. А. Костицына линейные, то мы

можем ввести переменную w, удовлетворяющую уравнению

и положить

Переменная С будет удовлетворять уравнению

Система уравнений (4.26), (4.27) относится к системам с вращающейся фазой. В самом деле, ее правая часть — периодические функции переменной а роль малого параметра играет начальная амплитуда с. Полагая

мы приведем систему к стандартному виду (4.21). Ее первым приближением будет система

Поскольку содержит только первые степени синуса и косинуса, интеграл в первом из уравнений системы (4.28) равен нулю. Что касается двух других уравнений этой системы, то мы их уже рассматривали. Итак,

Таким образом, асимптотическое поведение решений системы уравнений В. А. Костицына при малых начальных отклонениях от положения равновесия описывается только функцией w, которая зависит только от равновесных значений и и v. Что касается изменения количества биогенных элементов, содержащихся в живом веществе атмосферы, суши, океана, точнее, их отклонений от соответствующих равновесных состояний, то они описываются известными формулами (4.6).

Подведем теперь некоторые итоги. В. А. Костицын показал, что живая материя, порождает тот механизм, который переводит газы, содержащиеся в атмосфере и океане, в материал земной коры, и предложил метод вычисления характеристик этого процесса. Теперь мы видим, что этот механизм действует независимо от характера колебаний массы растений и животных, он определяется самим фактом жизни и зависит только от средних (стационарных) характеристик, если пренебречь периодическими колебаниями, которые неизбежно возникают, но не влияют на значения средних характеристик.

Заметим, что система уравнений Костицына нелинейная. Однако нелинейные факторы в ней учтены лишь одним слагаемым .

6. Модификация модели В. А. Костицына. Ситуация несколько усложнится, если мы учтем нелинейные эффекты, которые неизбежно присутствуют в системе. В. А. Костицын обратил внимание на тот факт, что практически все коэффициенты в его системе

зависят от количества кислорода и углекислоты. Эти зависимости не очень сильны, а некоторые из них, например коэффициенты, описываемые в уравнении баланса кислорода, практически постоянны. Коэффициенты, описывающие балансы углекислоты, в большей степени зависят от ее концентрации. Тем не менее правые части системы (4.29) являются нелинейными функциями от х и у. Для этих уравнений мы примем следующую сокращенную запись:

Точно так же и в уравнениях для и и у величины мы должны считать функциями от х и у.

Делая замену

где уравнения системы (4.29) мы

приведем к виду

Обозначим через х и у решения уравнений

Уравнения (4.31) описывают эволюцию системы при условии, что процессы жизнедеятельности находятся в стационарном состоянии, т. е.

Введем новые переменные:

они будут удовлетворять уравнениям вида

Теперь рассмотрим два последних уравнения системы (4.29). После замены (4.30) они примет вид

Система уравнений (4.32), (4.33) будет относиться к системам с вращающейся фазой в том случае, когда, кроме предположения о малости начальной амплитуды мы примем еще дополнительное предположение о малости производных тогда мыможем провести осреднение посф и получить следующие укороченные уравнения, которые в силу линейной зависимости правых частей (4.29) от примут следующий вид:

Равенства (4.34) являются следствиями того, что правые части уравнений системы (4.29) являются линейными функциями от и, следовательно, содержат лишь правые степени

Таким образом, учет нелинейности не изменит характера механизма и описание изменения концентрации с большой точностью может быть дано уравнениями для средних значений. Однако в уравнениях (4.31) величины и и v будут теперь функциями от х и у. Этот факт скажется также на законе изменения амплитуды с, которая тоже перестанет быть постоянной.

7. Заключительные замечания. Процедура асимптотической обработки уравнений В. А. Костицына была проведена достаточно подробно, поскольку уравнения подобного рода, как это уже было сказано, имеют вид, типичный для уравнений, описывающих экологические процессы, — в них всегда относительно короткопериодические процессы колебательного характера взаимодействуют с процессами медленного «фона». Это обстоятельство затрудняет непосредственную имитацию подобных процессов на ЭВМ. В самом деле, шаг численного интегрирования будут навязывать короткопериодические процессы осциллирующего характера. Значит, если мы хотим провести изучение экологической ситуации на достаточно большом интервале времени, то мы столкнемся с необходимостью проведения огромного числа вычислений, связанных с большим числом шагов. Это, конечно, потребует большой затраты машинного времени и, Следовательно, приведет к накоплению неизбежных ошибок. Асимптотическая обработка уравнений В. А. Костицына позволила не только установить некоторые важные свойства изучаемых процессов, но и привести уравнения к форме (4.34), (4.35). В этих уравнениях все переменные будут изменяться медленно и, следовательно, уравнения могут интегрироваться с большим шагом. Время, которое мы в этом случае будем затрачивать на имитацию изучаемого эволюционного процесса, может сократиться на несколько порядков. Ошибка, происходящая за счет потери точности, связанной с осреднением, будет компенсирована уменьшением ошибки, накапливающейся в процессе длительного счета.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление