ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО

— множество X линейного пространства Е, характеризуемое следующим свойством. Если произвольные элементы мн-ва X, то при любом точка . Др. словами, мн-во X — выпуклое, если оно целиком содержит отрезок, определяемый любыми двумя его точками. В. м., напр., являются: точка ; шар произвольного радиуса; любое подпространство Е, в частности в -мерном эвклидовом пространстве каждое из полупространств ацхз , определяемых гиперплоскостью Свойства В. м.: .

1) если точки мн-ва X, то этому мн-ву принадлежит и любая точка являющаяся выпуклой комбинацией Toчек где пересечение В. также является В. в пространстве любые два В. м. X и У, не имеющие общих точек, могут быть разделены ненулевой линейной ф-цией, т. е. найдется такая линейная ф-ция что для всех (теорема об отделимости В. м.). Аналогичное утверждение сохраняет силу и в случае произвольного линейного пространства, при условии, что одно из мн-в имеет внутреннюю (в определенном для рассматриваемого пространства смысле) точку. При более жестких требованиях, предъявляемых к В. и У, гарантируется существование ненулевой линейной ф-ции, строго разделяющей эти мн-ва: для всех , где а — некоторая константа, а В пространстве для этого достаточно, чтобы мн-ва X и У были замкнуты, не пересекались, и, по крайней мере, одно из них было ограничено. В каждой граничной точке у В. может быть определена по крайней мере одна линейная ф-ция называемая опорной ф-цией к мн-ву X в точке у такая, что для всех .

Существуют различные спец. конструкции В. Выпуклый конус К с вершиной , Выпуклая оболочка [X] (или ) произвольного множества X линейного пространства Е, Выпуклое многогранное множество). Благодаря своим свойствам, понятие В. м. находит широкое применение в функциональном анализе, программировании линейном и нелинейном, оптимального управления теории, играх дифференциальных.

Лит.: Болтянский В. Г. Математические методы оптимапыюго управления. М., 1969; Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 798—819]. Ю. М. Данилин.