ËÀÏËÀÑÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß
— ïðåîáðàçîâàíèÿ, óñòàíàâëèâàþùèå ñâÿçü ìåæäó îðèãèíàëàìè è èçîáðàæåíèÿìè ðåøåò÷àòûõ ôóíêöèé. Ïðÿìîå Ë. ä. ï. ôóíêöèè ðåøåò÷àòîé

è ñìåùåííîé ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè

îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
è
Çäåñü
êîìïëåêñíîå ÷èñëî, íàç. ïàðàìåòðîì Ë. ä. ï., Ò — èíòåðâàë äèñêðåòíîñòè ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè, s — ïàðàìåòð îáû÷íîãî Ëàïëàñà ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çíà÷åíèå
äëÿ êîòîðîãî ïðè
ðÿäû (1) ñõîäÿòñÿ, à ïðè
ðàñõîäÿòñÿ, íàç. àáñöèññîé ñõîäèìîñòè.  (1) ðåøåò÷àòûå ô-öèè
îðèãèíàëàìè, à ô-öèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
— èçîáðàæåíèÿìè. Ñîîòíîøåíèÿ (1) ñîêðàùåííî çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:
è
ãäå D — ñèìâîë Ë. ä. ï., a — çíàê ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì.
×àñòî ïîëüçóþòñÿ òàêæå ñëåäóþùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè:
È
ãäå
Ýòè Ë. ä. ï. íàç. ñîîòâåòñòâåííî
ðåîáðàçîâàíèåì è ìîäèôèöèðîâàííûì
ðåîáðàçîâàíèåì è îáîçíà÷àþòñÿ òàê:
è
Ïîìèìî îäíîñòîðîííèõ Ë. ä. ï.,, ïðèâåäåííûõ âûøå, ïîëüçóþòñÿ òàêæå äâóõñòîðîííèìè Ë. ä. ï., êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ (1) èëè (3), åñëè ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ â ïðåäåëàõ
Åñëè îðèãèíàëû ðàâíû íóëþ ïðè
òî äâóõñòîðîííåå Ë. ä. ï. ñîâïàäàåò ñ îäíîñòîðîííèì.
Ëþáóþ ðåøåò÷àòóþ ô-öèþ
ïîñòîÿííûì èíòåðâàëîì äèñêðåòíîñòè) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû N ðåøåò÷àòûõ ô-öèé
íàçûâàåìûõ êîìïîíåíòàìè ñ ïðîïóñêîì:
ãäå
z-ïðåîáðàçîâàíèå ýòèõ êîìïîíåíò, èëè ò. í. z-ïðåîáðàçîâàíèå ñ ïðîïóñêîì, îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëå (2), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî îïðåäåëèòü è ïî èçîáðàæåíèþ èñõîäíîé ðåøåò÷àòîé ô-öèè
ãäå
çàìêíóòûé êîíòóð, ðàçäåëÿþùèé îñîáåííîñòè - è
Ïðè èññëåäîâàíèè äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ àìïëèòóäíî-èìïóëüñíîé ìîäóëÿöèåé 2-ãî ðîäà (ñì. Ìîäóëÿöèÿ èìïóëüñíàÿ) èíîãäà ïðèìåíÿþò ò. í.
ðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáû÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ô-öèé
îïðåäåëÿåìûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ïðåîáðàçîâàíèå, óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè
ô-öèé
ñîîòâåòñòâåííî, îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç
è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
ãäå
— êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ, îõâàòûâàþùèé âñå ïîëþñû
ïðåîáðàçîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òàêæå íà ô-öèè
îïðåäåëÿåìûå òàê:
è èñïîëüçóåòñÿ ïðè àíàëèçå äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ñúåìà äàííûõ, â êîòîðûõ îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò ÷àñòîòíî-, øèðîòíî- è àìïëèòóäíî-èìïóëüñíàÿ (2-ãî ðîäà) ìîäóëÿöèÿ.
Îáðàòíûå Ë. ä. ï., àîçâîëÿþùèå ïî èçîáðàæåíèÿì îïðåäåëèòü îðèãèíàëû, äàþòñÿ ôîðìóëàìè îáðàùåíèÿ:
ãäå
Äëÿ èçîáðàæåíèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé äðîáíîðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè ïî
ïðèìåíÿþò ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå òàêîâûì â îáû÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà; ïðèìåíÿþò òàêæå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ðàçëîæåíèè èçîáðàæåíèé â ðÿä Ëîðàíà
Ïðè ýòîì â (12) ÷ëåíó
ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè â ìîìåíò âðåìåíè
Ñâÿçü ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè ïî Ëàïëàñó è Ë. ä. ï. óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:
è
êîòîðûå çàïèñûâàþò èíîãäà â âèäå
Ñîîòíîøåíèÿ, ïîäîáíûå (11) è (13) — (15), ñâîéñòâåííû è z-ïðåîáðàçîâàíèÿì. Ïîäîáíî (15,6), äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îáðàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñïîëüçóþò ñèìâîëû
 ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ øèðîêî èñïîëüçóþò òàáëèöû èçîáðàæåíèé äëÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ôóíêöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò íàõîäèòü îðèãèíàëû áåç îáðàùåíèÿ ê îáùèì ôîðìóëàì îáðàòíîãî Ë. ä. ï.
Ë. ä. ï. èñïîëüçóþòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè äèñêðåòíûõ ñèñòåì àâòîìàò, óïðàâëåíèÿ, ïðèáëèæåííîì èññëåäîâàíèè íåïðåðûâíûõ ñèñòåì, ðåøåíèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé è ò. ä.
Ëèò.: Öûïêèí ß.Ç. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ èìïóëüñíûõ ñèñòåì. Ì., 1963 [áèáëèîãð. ñ. 926—963]; Ïðîáëåìû òåîðèè èìïóëüñíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Èòîãè íàóêè. Ì., 1966 [áèáëèîãð. ñ. 173—174]; Ôðèäëàíä Á. Èìïóëüñíûå ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè.  êí.: Òðóäû I Ìåæäóíàðîäíîãî êîíãðåññà Ìåæäóíàðîäíîé ôåäåðàöèè ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ, ò. 2. Ì., 1961: Äæóðè Ý. Èìïóëüñíûå ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Ïåð. ñ àíãë. Ì., 1963 [áèáëèîãð. ñ. 445-450]; ĸ÷ Ã. Ðóêîâîäñòâî ê ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà è z-ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïåð. ñ íåì. Ì., 1971.
Þ. Â. Êðåìåíòóëî.