Ãëàâíàÿ > Ðàçíîå > Ýíöèêëîïåäèÿ êèáåðíåòèêè. Ò.1
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

ËÀÏËÀÑÀ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

— ïðåîáðàçîâàíèÿ, óñòàíàâëèâàþùèå ñâÿçü ìåæäó îðèãèíàëàìè è èçîáðàæåíèÿìè ðåøåò÷àòûõ ôóíêöèé. Ïðÿìîå Ë. ä. ï. ôóíêöèè ðåøåò÷àòîé è ñìåùåííîé ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:

è

Çäåñü êîìïëåêñíîå ÷èñëî, íàç. ïàðàìåòðîì Ë. ä. ï., Ò — èíòåðâàë äèñêðåòíîñòè ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè, s — ïàðàìåòð îáû÷íîãî Ëàïëàñà ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çíà÷åíèå äëÿ êîòîðîãî ïðè ðÿäû (1) ñõîäÿòñÿ, à ïðè ðàñõîäÿòñÿ, íàç. àáñöèññîé ñõîäèìîñòè.  (1) ðåøåò÷àòûå ô-öèè îðèãèíàëàìè, à ô-öèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé — èçîáðàæåíèÿìè. Ñîîòíîøåíèÿ (1) ñîêðàùåííî çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:

è

ãäå D — ñèìâîë Ë. ä. ï., a — çíàê ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì.

×àñòî ïîëüçóþòñÿ òàêæå ñëåäóþùèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè:

È

ãäå Ýòè Ë. ä. ï. íàç. ñîîòâåòñòâåííî ðåîáðàçîâàíèåì è ìîäèôèöèðîâàííûì ðåîáðàçîâàíèåì è îáîçíà÷àþòñÿ òàê:

è

Ïîìèìî îäíîñòîðîííèõ Ë. ä. ï.,, ïðèâåäåííûõ âûøå, ïîëüçóþòñÿ òàêæå äâóõñòîðîííèìè Ë. ä. ï., êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ (1) èëè (3), åñëè ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ â ïðåäåëàõ Åñëè îðèãèíàëû ðàâíû íóëþ ïðè òî äâóõñòîðîííåå Ë. ä. ï. ñîâïàäàåò ñ îäíîñòîðîííèì.

Ëþáóþ ðåøåò÷àòóþ ô-öèþ ïîñòîÿííûì èíòåðâàëîì äèñêðåòíîñòè) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû N ðåøåò÷àòûõ ô-öèé íàçûâàåìûõ êîìïîíåíòàìè ñ ïðîïóñêîì:

ãäå

z-ïðåîáðàçîâàíèå ýòèõ êîìïîíåíò, èëè ò. í. z-ïðåîáðàçîâàíèå ñ ïðîïóñêîì, îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëå (2), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî îïðåäåëèòü è ïî èçîáðàæåíèþ èñõîäíîé ðåøåò÷àòîé ô-öèè

ãäå çàìêíóòûé êîíòóð, ðàçäåëÿþùèé îñîáåííîñòè - è Ïðè èññëåäîâàíèè äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ àìïëèòóäíî-èìïóëüñíîé ìîäóëÿöèåé 2-ãî ðîäà (ñì. Ìîäóëÿöèÿ èìïóëüñíàÿ) èíîãäà ïðèìåíÿþò ò. í. ðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáû÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ô-öèé îïðåäåëÿåìûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ïðåîáðàçîâàíèå, óñòàíàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè ô-öèé ñîîòâåòñòâåííî, îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

ãäå — êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ, îõâàòûâàþùèé âñå ïîëþñû ïðåîáðàçîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òàêæå íà ô-öèè îïðåäåëÿåìûå òàê:

è èñïîëüçóåòñÿ ïðè àíàëèçå äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ñúåìà äàííûõ, â êîòîðûõ îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò ÷àñòîòíî-, øèðîòíî- è àìïëèòóäíî-èìïóëüñíàÿ (2-ãî ðîäà) ìîäóëÿöèÿ.

Îáðàòíûå Ë. ä. ï., àîçâîëÿþùèå ïî èçîáðàæåíèÿì îïðåäåëèòü îðèãèíàëû, äàþòñÿ ôîðìóëàìè îáðàùåíèÿ:

ãäå

Äëÿ èçîáðàæåíèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé äðîáíîðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè ïî ïðèìåíÿþò ôîðìóëû ðàçëîæåíèÿ, àíàëîãè÷íûå òàêîâûì â îáû÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà; ïðèìåíÿþò òàêæå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ðàçëîæåíèè èçîáðàæåíèé â ðÿä Ëîðàíà

Ïðè ýòîì â (12) ÷ëåíó ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè â ìîìåíò âðåìåíè Ñâÿçü ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè ïî Ëàïëàñó è Ë. ä. ï. óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:

è

êîòîðûå çàïèñûâàþò èíîãäà â âèäå

Ñîîòíîøåíèÿ, ïîäîáíûå (11) è (13) — (15), ñâîéñòâåííû è z-ïðåîáðàçîâàíèÿì. Ïîäîáíî (15,6), äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îáðàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èñïîëüçóþò ñèìâîëû

 ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ øèðîêî èñïîëüçóþò òàáëèöû èçîáðàæåíèé äëÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ôóíêöèé, ÷òî ïîçâîëÿåò íàõîäèòü îðèãèíàëû áåç îáðàùåíèÿ ê îáùèì ôîðìóëàì îáðàòíîãî Ë. ä. ï.

Ë. ä. ï. èñïîëüçóþòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè äèñêðåòíûõ ñèñòåì àâòîìàò, óïðàâëåíèÿ, ïðèáëèæåííîì èññëåäîâàíèè íåïðåðûâíûõ ñèñòåì, ðåøåíèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé è ò. ä.

Ëèò.: Öûïêèí ß.Ç. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ èìïóëüñíûõ ñèñòåì. Ì., 1963 [áèáëèîãð. ñ. 926—963]; Ïðîáëåìû òåîðèè èìïóëüñíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Èòîãè íàóêè. Ì., 1966 [áèáëèîãð. ñ. 173—174]; Ôðèäëàíä Á. Èìïóëüñíûå ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè.  êí.: Òðóäû I Ìåæäóíàðîäíîãî êîíãðåññà Ìåæäóíàðîäíîé ôåäåðàöèè ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ, ò. 2. Ì., 1961: Äæóðè Ý. Èìïóëüñíûå ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Ïåð. ñ àíãë. Ì., 1963 [áèáëèîãð. ñ. 445-450]; ĸ÷ Ã. Ðóêîâîäñòâî ê ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà è z-ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïåð. ñ íåì. Ì., 1971.

Þ. Â. Êðåìåíòóëî.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå