ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÈ ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß
— õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà, êîòîðûìè îáëàäàåò îïòèìàëüíàÿ òî÷êà (âåêòîð) â çàäà÷å ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî. Ôîðìà Î. í. ó. îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé, â êîòîðîé çàäàåòñÿ äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî. Âïåðâûå îáùèå Î. í. ó. äëÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé â âèäå ðàâåíñòâ ñôîðìóëèðîâàë Ëàãðàíæ (ñì. Ëàãðàíæà ïðàâèëî ìíîæèòåëåé).  1951 àìåð. ìàòåìàòèêè Ã. Êóí è À. Òàêêåð ñôîðìóëèðîâàëè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè òî÷êè õ â çàäà÷å ïðîãðàììèðîâàíèÿ âûïóêëîãî, ò. å. â çàäà÷å îòûñêàíèÿ
ãäå ô-öèÿ
âîãíóòà, à âñå ô-öèè
— âûïóêëû. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âåêòîð õ ÿâëÿëñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1), êîãäà äîïóñòèìîå ìí-âî
ñîäåðæèò âíóòð. òî÷êè, ò. å.
, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøåëñÿ íåîòðèöàòåëüíûé âåêòîð è, êîòîðûé âìåñòå ñ âåêòîðîì õ ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâîé òî÷êîé ô-öèè Ëàãðàíæà
äëÿ âñåõ
Åñëè ê òîìó æå ô-öèè
äèôôåðåíöèðóåìû, òî äëÿ îïòèìàëüíîñòè âåêòîðà õ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøåëñÿ íåîòðèöàòåëüíûé âåêòîð è, êîòîðûé âìåñòå ñ âåêòîðîì õ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé ñèñòåìå óð-íèé è íåðàâåíñòâ
Åñëè ô-öèÿ
è ìí-âî Q íå ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìè, òî óñëîâèÿ (2) ÿâëÿþòñÿ ëèøü íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè îïòèìàëüíîñòè âåêòîðà õ. Óêàçàííûå Î. í. ó. ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêîãî ïðàâèëà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà íà çàäà÷è îòûñêàíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè ïðè îãðàíè÷åíèÿõ â âèäå íåðàâåíñòâ.
Îñí. ìàòåì. àïïàðàòîì, èñïîëüçóåìûì ïðè ïîñòðîåíèè Î. í. ó. äëÿ çàäà÷ ìàòåì. ïðîãðàììèðîâàíèÿ â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ÿâëÿþòñÿ òåîðåìû îòäåëèìîñòè âûïóêëûõ ìíîæåñòâ è òåîðèÿ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ. Èññëåäîâàíèå íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷ ìàòåì. ïðîãðàììèðîâàíèÿ â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòð. ïðèîáðåëî îñîáîå çíà÷åíèå â ñâÿçè ñ çàäà÷àìè îïòèì. óïðàâëåíèÿ. Âïåðâûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà íà ìí-âå áàíàõîâà ïðîñòð. ñôîðìóëèðîâàë ñîâ. ìàòåìàòèê Ë. Â. Êàíòîðîâè÷ â 1940.  ñåðåäèíå 50-õ ãîäîâ ñîâ. ìàòåìàòèê Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèí ñôîðìóëèðîâàë â ôîðìå
ïðèíöèïà ìàêñèìóìà íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ çàäà÷ îïòèì. óïðàâëåíèÿ (ñì. Èîíòðÿãèíà ïðèíöèï ìàêñèìóìà).  íà÷àëå 60-õ ãîäîâ ñîâ. ó÷åíûå À. ß. Äóáîâèöêèé è À. À. Ìèëþòèí ïîñòðîèëè îáùóþ òåîðèþ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé è ðàçâèëè òåõíèêó ïîñòðîåíèÿ òàêèõ óñëîâèé äëÿ øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ ìàòåì. ïðîãðàììèðîâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, èì óäàëîñü îñóùåñòâèòü âëîæåíèå îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ òåîðèè â îáùóþ òåîðèþ
Ñóùíîñòü îáùåé òåîðèè Î. í. ó. çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü òðåáóåòñÿ îòûñêàòü
ãäå
— ìí-âî â áàíàõîâîì ïðîñòð.
íåêîòîðîå ìíîãîîáðàçèå ýòîãî ïðîñòð. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî
ñóùåñòâóåò âûïóêëûé êîíóñ Ê. òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî
äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ t è äëÿ êîòîðûõ
Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíîå ê L ïîäïðîñòð.
, ò. å. äëÿ âñÿêîãî
íàéäåòñÿ òàêîé âåêòîð
÷òî
äëÿ äîñòàòî÷íî, ìàëûõ t, ïðè÷åì
ïðè
Êðîìå òîãî, ïóñòü ñóùåñòâóåò âûïóêëûé êîíóñ Êî, äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà
êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (4) äëÿ
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå (òåîðåìà Äóáîâèöêîãî — Ìèëþòèíà): äëÿ òîãî, ÷òîáû òî÷êà õ ÿâëÿëàñü ðåøåíèåì çàäà÷è (3), íåîáõîäèìî, ÷òîáû
Ïóñòü
ãäå Â — ïðîñòð., ñîïðÿæåííîå áàíàõîâîìó ïðîñòð.
ïóñòîå ìí-âî. ×òîáû êîíóñû
íå ïåðåñåêàëèñü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèîíàëîâ
, ñðåäè êîòîðûõ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí îòëè÷åí îò 0 è òàêèõ, ÷òî
òåîðåìà Äóáîâèöêîãî—Ìèëþòèíà). Íà îñíîâå ýòîé òåîðåìû óäàåòñÿ åäèíîîáðàçíî ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòû, íà÷èíàÿ îò êëàññè÷åñêèõ òåîðåì äâîéñòâåííîñòè â ïðîãðàììèðîâàíèè ëèíåéíîì è êîí÷àÿ ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà.
Ïîìèìî ñàìîñòîÿòåëüíîãî çíà÷åíèÿ, Î. í. ó. èãðàþò âàæíóþ ðîëü ïðè ñîçäàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ýôôåêòèâíîãî îòûñêàíèÿ îïòèì. òî÷êè õ. Íà îñíîâå òåîðèè Î. í. ó. óäàëîñü ñ íîâîé òî÷êè çðåíèÿ îñìûñëèòü íåêîòîðûå êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû òåîðèè ÷åáûøåâñêèõ ïðèáëèæåíèé, ïðîáëåìû ìîìåíòîâ È äð. Ð. À. Ïîëÿê, Ì. Å. Ïðèìàê.