Ãëàâíàÿ > Ðàçíîå > Ýíöèêëîïåäèÿ êèáåðíåòèêè. Ò.2
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÑÈÑÒÅÌÛ ÂÛÁÎÐ

— îïðåäåëåíèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ïðè ñóùåñòâóþùèõ îãðàíè÷åíèÿõ îáåñïå÷èâàþò íàèëó÷øèå ïîêàçàòåëè êà÷åñòâà ñèñòåìû. Çàäà÷è Î. ï. ñ. â. î÷åíü ÷àñòî âîçíèêàþò ïðè èññëåäîâàíèè ýêîíîì., òåõ. è äð. òèïîâ ñèñòåì, â êèáåðíåòèêå — ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ (ÑÀÓ).

 ÑÀÓ (ðèñ.) Î. ï. ñ. â. òåñíî ñâÿçàí ñ çàäà÷åé ñèíòåçà îïòèì. óïðàâëÿþùåãî óñòðîéñòâà ÓÓ. Íà îñíîâå ïîñòóïàþùåé íà íåãî èíôîðìàöèè î çàäàíèè ó, î âûõîäíîé âåëè÷èíå ó îáúåêòà óïðàâëåíèÿ Î Ó è, âîçìîæíî, î ïîìåõå z ÓÓ âûðàáàòûâàåò è ïîäàåò íà ÎÓ óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ è.

ÎÓ õàðàêòåðèçóåòñÿ çàâèñèìîñòüþ åãî âûõîäíîé âåëè÷èíû ó îò âõîäíûõ âåëè÷èí :

 îáùåì ñëó÷àå , è ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè, a f ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðûé îïåðàòîð, êîòîðûé ìîæåò áûòü çàäàí ñèñòåìîé àëãåáð., äèôôåðåíöèàëüíûõ èëè èíòåãð. óðàâíåíèé. Èíôîðìàöèÿ îò ìîæåò ïîñòóïàòü â ïî êàíàëàì ñ øóìàìè (íàïð., ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé). Îáîçíà÷èì ÷åðåç õ âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè , à ÷åðåç âåêòîð, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí . Öåëü îïòèì. óïðàâëåíèÿ ñîñòîèò â äîñòèæåíèè ýêñòðåìóìà íåêîòîðîé âåëè÷èíû J — êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè. J â ÑÀÓ îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèîíàë, çàâèñÿùåé îò õ è è. Êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè ìîæåò ñëóæèòü îöåíêîé êà÷åñòâà ïåðåõîäíîãî èëè óñòàíîâèâøåãîñÿ ïðîöåññà â ÑÀÓ è îòðàæàòü òåõ. èëè ýêîíîì, ïîêàçàòåëè ñèñòåìû.  çàäà÷å âûáîðà ïàðàìåòðîâ óïðàâëåíèå ôîðìèðóåòñÿ â âèäå:

ãäå — îïåðàòîð ÓÓ çàäàííîé ñòðóêòóðû; — âåêòîð ïîäëåæàùèõ îïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ îïåðàòîðà ô.  ðåçóëüòàòå êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè J ñòàíîâèòñÿ ô-öèåé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ è â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

ãäå — ôóíêöèîíàë âåêòîðà ïàðàìåòðîâ ñ è âåêòîðà õ, ïëîòíîñòü

ïðåäåëåíèÿ êîòîðîãî ìîæåò çàâèñåòü îò âåêòîðà ñ è ðàâíà ïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ õ.  äåòåðìèíèðîâàííîì ñëó÷àå .

Îãðàíè÷åíèÿ ïðè òàêîì ïîäõîäå ñâîäÿòñÿ ê îãðàíè÷åíèÿì, êîòîðûå äîëæíû áûòü íàëîæåíû íà êîìïîíåíòû âåêòîðà ñ. Îíè âûðàæàþòñÿ â âèäå ðàâåíñòâ

è íåðàâåíñòâ

Ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ.

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (3) — (5), çàäà÷ó Î. ï. ñ. â. â îáùåì âèäå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: îïðåäåëèòü îïòèì. âåêòîð ïàðàìåòðîâ ñ êîòîðûé ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (4) — (5) äîñòàâëÿåò ýêñòðåìóì ô-äèè . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà îãðàíè÷åíèÿ 2-ãî ðîäà îòñóòñòâóþò (îãðàíè÷åíèÿ 1-ãî ðîäà ìîãóò áûòü èñêëþ÷åíû ïóòåì ïîäñòàíîâêè â ôóíêöèîíàë). Åñëè ô-öèÿ äîïóñêàåò äèôôåðåíöèðîâàíèå, òî îíà äîñòèãàåò ýêñòðåìóìà ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ ñ äëÿ êîòîðûõ åå ãðàäèåíò

Âåêòîðû ñ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ñòàöèîíàðíûìè, èëè îñîáûìè. Óñëîâèå (6) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïòèìàëüíîñòè. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà èìåþò âèä íåðàâåíñòâ îòíîñèòåëüíî îïðåäåëèòåëåé, ñîäåðæàùèõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå 2-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèîíàëà J ïî âñåì êîìïîíåíòàì âåêòîðà ñ. Ðåøèòü àíàëèòè÷åñêèì ïóòåì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå (6) äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ñ â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà ïî÷òè âñåãäà íåâîçìîæíî (çà èñêëþ÷åíèåì ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àåâ).  ñâÿçè ñ ýòèì øèðîêîå ðàçâèòèå è ïðèìåíåíèå ïîëó÷èëè àëãîðèòì, ìåòîäû — ìåòîä Ãàóññà — Çàéäåëÿ, ìåòîä ãðàäèåíòà, íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà è äð. (ñì. Îïòèìèçàöèè ìåòîäû ÷èñëåííûå). Íàïð., àëãîðèòì îïòèìèçàöèè ïî ìåòîäó ãðàäèåíòà ïðè íàõîæäåíèè ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ñëåäóþùèì ðåêóððåíòíûì óðàâíåíèåì:

ãäå — ñêàëÿð; — íîìåð øàãà.

Áîëüøàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóþùèõ àëãîðèòì, ìåòîäîâ ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ îòûñêàíèÿ ýêñòðåìóìîâ ëîêàëüíûõ. Íàõîæäåíèå ýêñòðåìóìà ãëîáàëüíîãî ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé è â îáùåì ñëó÷àå åùå íå ðåøåííîé çàäà÷åé. Ó÷åò îãðàíè÷åíèé òèïà ðàâåíñòâ (4) çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà. Ââåäåì ôóíêöèîíàë

ãäå — ïîêà íåèçâåñòíûé âåêòîð ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà, Ò — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ, âåêòîð-ôóíêöèÿ. Òîãäà îòûñêàíèå ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (4) ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèé ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé:

ãäå

ìàòðèöà ðàçìåðà

Ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé òèïà íåðàâåíñòâ (5) äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Î. ï. ñ. â. íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ìåòîäû ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî.

Ëèò.: Ôåëüäáàóì À. À. Ýëåêòðè÷åñêèå ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ. Ì., 1957; Êðàñîâñêèé À. À. Èíòåãðàëüíûå îöåíêè è êðèòåðèè êà÷åñòâà ðåãóëèðîâàíèÿ.  êí.: Òåîðèÿ àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ, ò. 1. Ì., 1967; Öûïêèí ß. 3. Àäàïòàöèÿ è îáó÷åíèå â àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, Ì., 1968 [áèáëèîãð. ñ. 347—381]. Ä. Â. Êàðà÷åïåö.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå