ÍÅÊÎÐÐÅÊÒÍÎ ÏÎÑÒÀÂËÅÍÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÑÏÎÑÎÁÛ ÐÅØÅÍÈß.
 îáùåì âèäå íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó ìîæíî çàïèñàòü òàê:
ãäå
— ìåòðè÷åñêèå ïðîñòð. (ñì. Ïðîñòðàíñòâî àáñòðàêòíîå â ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå), À — íåïðåðûâíûé îïåðàòîð; ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó îïåðàòîðà À èìååòñÿ îáðàòíûé îïåðàòîð
íî îí íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì. Ïóñòü ýëåìåíòû
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
Òîãäà ýëåìåíò
òî÷íûì ðåøåíèåì óð-íèÿ (1) ñ òî÷íîé ïðàâîé ÷àñòüþ
Åñëè ýëåìåíò
èçâåñòåí ïðèáë. (ïóñòü è — ýòî ïðèáëèæåíèå), òî ðå÷ü ìîæåò èäòè ëèøü î íàõîæäåíèè ïðèáë. ê
ðåøåíèÿ óð-íèÿ (1). Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ïðèíöèïèàëüíîé âàæíîñòè âîïðîñ: ÷òî ïîíèìàòü ïîä ïðèáë. ðåøåíèåì óð-íèÿ
Åñëè äàí îòâåò íà ýòîò âîïðîñ, òî çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè àëãîðèòìîâ ïîñòðîåíèÿ ïðèáë. ðåøåíèé óð-íèÿ (1), îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì óñòîé÷èâîñòè ê ìàëûì èçìåíåíèÿì âõîäíûõ äàííûõ.  ÷àñòíîñòè, íàõîæäåíèå òàêèõ àëãîðèòìîâ èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ àâòîìàòèçàöèè îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.
Ïðèáë. ðåøåíèÿ ìíîãèõ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ âèäà (1) ñòðîèëèñü äàâíî. Îñí. ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé áûë ìåòîä ïîäáîðà. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî âû÷èñëÿþò ëåâóþ ÷àñòü óð-íèÿ (1) A z äëÿ íåêîòîðîãî ïîäìí-âà (íàáîðà)
ýëåìåíòîâ z, ïðèíàäëåæàùèõ
ò. å. ðåøàþò «ïðÿìóþ» çàäà÷ó, è â êà÷åñòâå èñêîìîãî ïðèáë. ðåøåíèÿ âûáèðàþò òàêîé ýëåìåíò
èç
äëÿ êîòîðîãî íåâÿçêà
ìèíèì. íà
Îáû÷íî â êà÷åñòâå
âûáèðàþò ñåìåéñòâî ýëåìåíòîâ z, çàâèñÿùèõ îò êîíå÷íîãî ê-âà ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ òàê, ÷òî
ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìí-âîì êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòð. Åñëè, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå
òî â ýòîì ñëó÷àå
è äîñòèãàåòñÿ ýòà íèæíÿÿ ãðàíü íà òî÷íîì ðåøåíèè óð-íèÿ
Ïðè ýòîì, åñëè
åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ, íà êîòîðîé íåâÿçêà
ïðè
, òî íåèçâåñòíî, áóäåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòüñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ
. Åñëè, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé ïàðàìåòð èçìåíÿåòñÿ â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ, òî
áóäåò êîìïàêòíûì è
, ò. å. ìåòîä ïîäáîðà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðèáë. ðåøåíèå.  äðóãèõ óñëîâèÿõ ìåòîä ïîäáîðà, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïðèãîäåí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáë. ðåøåíèé. Âûÿñíèòü óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ìåòîäà ïîäáîðà ìîæíî, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé: åñëè îòîáðàæåíèå F U êîìïàêòíîãî ìí-âà F íåïðåðûâíî è âçàèìíî îäíîçíà÷íî, òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå U F òàêæå íåïðåðûâíî. Ïîýòîìó, åñëè ïîäìí-âî
ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì, è îòîáðàæåíèå
íåïðåðûâíî è âçàèìíî îäíîçíà÷íî, òî èç
ñëåäóåò ð
Ò. î., åñëè ðåøåíèå èùåòñÿ íà êîìïàêòíîì ìí-âå, òî ìåòîä ïîäáîðà óñòîé÷èâ è èì ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáë. ðåøåíèé óð-íèÿ (1).
 1962 ã. ñîâ. ìàòåìàòèê Ì. Ì. Ëàâðåíòüåâ ââåë ïîíÿòèå êîððåêòíîñòè ïî Òèõîíîâó. Çàäà÷à ðåøåíèÿ óð-íèÿ (1) íàç. êîððåêòíîé ïî Òèõîíîâó, åñëè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ïðàâîé ÷àñòè
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ïðèíàäëåæàùåå çàäàííîìó êîìïàêòíîìó ìí-âó F (êëàññó êîððåêòíîñòè).  òàêèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî îïåðàòîðà
áóäåò íåïðåðûâíî çàâèñåòü îò âõîäíûõ äàííûõ è, åñëè ïîñëåäíèå ïðèíàäëåæàò ìí-âó AF.  ðÿäå ñëó÷àåâ êîìïàêòíûå êëàññû ô-öèé F ìîæíî óêàçàòü.  òàêèõ ñëó÷àÿõ çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óñëîâèé, îáåñïå÷èâàþùèõ êîìïàêòíîñòü ìí-âà F, è ïðèáë. ðåøåíèÿ ñòðîÿòñÿ ïî
Íî ÷àñòî ýëåìåíò è ñîäåðæèò ñëó÷àéíûå ïîãðåøíîñòè (òàê êàê åãî ïîëó÷àþò ïóòåì èçìåðåíèé) è ïîýòîìó ìîæåò íå ïðèíàäëåæàòü ìí-âó AF. Íà òàêèõ ýëåìåíòàõ è îáðàòíûé îïåðàòîð
íå îïðåäåëåí è ïîýòîìó îí íå ïðèãîäåí äëÿ ïîñòðîåíèÿ óñòîé÷èâûõ ïðèáë. ðåøåíèé óð-íèÿ (1) ïî ô-ëå
.
×òîáû ïðåîäîëåòü âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì òðóäíîñòè (êîãäà è
ïðèìåíÿþò ò. í. êâàçèðåøåíèå óð-íèÿ (1). Êâàçèðåøåíèåì óð-íèÿ (1) íàç. ýëåìåíò
ìèíèìèçèðóþùèé ôóíêöèîíàë
. Î÷åâèäíî, ÷òî
åñëè
. Åñëè F — êîìïàêòíîå ìí-âî (êîðî÷å - êîìïàêò), òî êâàçèðåøåíèå âñåãäà ñóùåñòâóåò. Åñëè
ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòð. è F — âûïóêëûé êîìïàêò,
ñòðîãî âûïóêëî, òî êâàçèðåøåíèå åäèíñòâåííî è íåïðåðûâíî çàâèñèò îò è. Ò. î., ïðèáë. ðåøåíèå óð-íèÿ (1) ìîæíî ñâåñòè ê íàõîæäåíèþ åãî êâàçèðåøåíèÿ, ïðè ýòîì ïðèáë. ðåøåíèå èùåòñÿ íà çàäàííîì êîìïàêòå.
 ðÿäå ñëó÷àåâ ìí-âî F íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì è èçìåíåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè óð-íèÿ (1), ñâÿçàííûå ñ åå ïðèáë. õàðàêòåðîì, ìîãóò âûâîäèòü
åå èç ìí-âà AF. Òàêèå çàäà÷è íàç. ñóùåñòâåííî íåêîððåêòíûìè.
 1963 ã. ñîâ. ìàòåìàòèê À. Í. Òèõîíîí ðàçðàáîòàë íîâûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷, ïîçâîëÿþùèé ñòðîèòü ïðèáë. ðåøåíèÿ, óñòîé÷èâûå ê ìàëûì èçìåíåíèÿì âõîäíûõ äàííûõ è, äëÿ ñóùåñòâåííî íåêîððåêòíûõ çàäà÷.  îñíîíå ýòîãî ïîäõîäà ëåæèò ïîíÿòèå ðåãóëÿðèçèðóþùåãî îïåðàòîðà. Åñëè çàäà÷à (1) ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé (íåóñòîé÷èâà), òî î÷åíèäíî, ÷òî ïðèáë. ðåøåíèå
íå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê òî÷íîå ðåøåíèå óð-íèÿ (1) ñ ïðèáë. ïðàâîé ÷àñòüþ
Ýëåìåíò
ìîæíî îïðåäåëèòü òîëüêî ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî íàäî áðàòü ñîãëàñîâàííûìè ñ òî÷íîñòüþ âõîäíûõ äàííûõ
Îïåðàòîð
, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà à, íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíåéðóþùèì äëÿ óð-íèÿ (1), åñëè îí îáëàäàåò òàêèìè ñâîéñòíàìè: âî-ïåðâûõ, îí îïðåäåëåí äëÿ âñÿêîãî
è ëþáîãî
, âî-âòîðûõ, åñëè
òî ñóùåñòâóåò òàêîå à (á), ÷òî äëÿ ëþáîãî
íàéäåòñÿ òàêîå
÷òî åñëè
òî
ãäå
 êà÷åñòâå ïðèáë. ðåøåíèÿ óð-íèÿ (1) íàäî áðàòü ýëåìåíò
, ïîëó÷åííûé ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿðèçèðóþùåãî îïåðàòîðà
, ãäå
ñîãëàñîâàíî ñ òî÷íîñòüþ âõîäíûõ äàííûõ è
. Ýòî ðåøåíèå íàç. ðåãóëÿðèçîâàííûì ðåøåíèåì óð-íèÿ (1). ×èñëîâîé ïàðàìåòð à íàç. ïàðàìåòðîì ðåãóëÿðèçàöèè. Î÷åíèäíî, ÷òî âñÿêèé ðåãóëÿðèçèðóþùèé îïåðàòîð èìååòå ñ âûáîðîì
îïðåäåëÿåò óñòîé÷èâûé ìåòîä ïðèáë. ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé óð-íèÿ (1). Åñëè èçâåñòíî, ÷òî
, òî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè
ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî ïðè á Î ðåãóëÿðèçîâàííîå ðåøåíèå
ñòðåìèòñÿ (â ìåòðèêå F) ê èñêîìîìó òî÷íîìó ðåøåíèþ
Ýòî è îïðàâäûâàåò ïðåäëîæåíèå áðàòü â êà÷åñòâå ïðèáë. ðåøåíèÿ óð-íèÿ (1) ðåãóëÿðèçîâàííîå ðåøåíèå. Ò. î., çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðåãóëÿðèçèðóþùèõ îïåðàòîðîâ è ê îöåíêå ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè à ïî äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î çàäà÷å, íàïð., ïî âåëè÷èíå óêëîíåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè
îò åå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ.  ìàòåì. ëèòåðàòóðå îïèñàííûé ìåòîä íàç. ìåòîäîì ðåãóëÿðèçàöèè.
Èçâåñòåí è ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ
. Îí îñíîâàí íà âàðèàöèîííîì ïðèíöèïå è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü
íåîòðèöàòåëüíûé ôóíêöèîíàë, îïðåäåëåííûé íà ïîäìí-âå
ïðîñòð. F è òàêîé, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà
ìí-âî ýëåìåíòîâ z, äëÿ êîòîðûõ
êîìïàêòíî â F. Ïóñòü èçâåñòíî, êðîìå òîãî, ÷òî
è óêëîíåíèå ïðàíîé ÷àñòè
îò òî÷íîãî çíà÷åíèÿ
íå ïðåâîñõîäèò
, ò. å.
. Òîãäà ïðèáë. ðåøåíèå íàäî èñêàòü â êëàññå ýëåìåíòîâ z, äëÿ êîòîðûõ
Íî ýòî ìí-âî íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì. Åñëè îò ïðèáë. ðåøåíèÿ ïîòðåáîâàòü åùå, ÷òîáû îíî ìèíèìèçèðîâàëî ôóíêöèîíàë
íà
òî çàäà÷à ñâåäåòñÿ ê ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
Ïóñòü
ýëåìåíò, íà êîòîðîì
äîñòèãàåò ìèíèìóìà. Ýëåìåíò
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ê ïðàâîé ÷àñòè
íåêîòîðîãî îïåðàòîðà
çàâèñÿùåãî îò à, ò. å.
. Äëÿ øèðîêîãî êëàññà óð-íèé ïîêàçàíî, ÷òî îïåðàòîð
ÿíëÿåòñÿ ðåãóëÿðèçèðóþùèì. Ïóñòü F — ïðîñòð. íåïðåðûâíûõ íà
ô-öèé
ïðîñòð. ô-öèé, èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì âìåñòå ñ ïðîèçíîäíûìè äî
ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ â êà÷åñòíå
ìîæíî áðàòü
ãäå
çàäàííûå ô-öèè è
Ôóíêöèîíàëû
ñòàáèëèçàòîðàìè. Ñòàáèëèçàòîðû âèäà
òèõîíîâñêèìè ñòàáèëèçàòîðàìè
ïîðÿäêà.
Ðåãóëÿðèçèðîâàííîå ðåøåíèå, ìèíèìèçèðóþùåå ôóíêöèîíàë
ìîæíî íàéòè êàê ïðÿìûìè ìåòîäàìè ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëîâ, òàê è ïóòåì ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó óð-íèÿ Ýéëåðà.
Äëÿ ñëó÷àÿ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòð. F è U íàéäåí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðèçèðóþùèõ îïåðàòîðîâ, îñíîíàííûé íà èõ ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà ïî ñïåêòðàëüíîé ìåðå îïåðàòîðà.
Äëÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà ñâåðòêè
ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî Ôóðüå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî óêàçàòü øèðîêèé êëàññ ðåãóëÿðèçèðóþùèõ îïåðàòîðîâ âèäà
ãäå
— ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ô-öèé
— ïðîèçâ. ô-öèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåêîòîðûì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì. Åñëè
äëÿ
è ðàâíà 1 äëÿ
òî ïîëó÷èì èçâåñòíûé îïåðàòîð (ìåòîä Êîòåëüíèêîâà). Åñëè ïîëîæèòü
ãäå
— ÷åòíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ô-öèÿ, òàêàÿ, ÷òî
äëÿ
è äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
, òî ðåãóëÿðèçîâàííûå
ðåøåíèÿ áóäóò íàõîäèòüñÿ ïî ô-ëå
Òàêîå ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è êàê ô-öèþ, ìèíèìèçèðóþùóþ ôóíêöèîíàë
åñëè â êà÷åñòâå
âçÿòü
ãäå
— ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ô-öèè z(t). Åñëè
÷åòíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
òî (7) ñîâïàäàåò ñ òèõîíîâñêèì ñòàáèëèçàòîðîì
ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôô.
. Çàìåòèì, ÷òî ô-öèÿ
ìîæåò èìåòü ëþáîé ïîðÿäîê ðîñòà íà áåñêîíå÷íîñòè. Îïðåäåëåíèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè à, ñîãëàñîâàííîãî ñ òî÷íîñòüþ 6 âõîäíûõ äàííûõ, ïðîèçâîäèòñÿ ëèáî ïî ïðèíöèïó íåâÿçêè, ò. å. èç ñîîòíîøåíèÿ
, ëèáî ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ äðóãîé äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè.
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èíôîðìàöèÿ î âõîäíûõ äàííûõ è îá èñêîìîì ðåøåíèè íîñèò âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð, ïðè ïîñòðîåíèè óñòîé÷èâûõ ïðèáë. ðåøåíèé íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ èñïîëüçóþò ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè. Íàïð., òàêîé ïîäõîä áûë èñïîëüçîâàí â ïðèìåíåíèè ê óð-íèÿì òèïà ñâåðòêè. Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ èëè èíòåðïðåòàöèÿ âõîäíûõ äàííûõ è èñêîìûõ ðåøåíèé êàê ðåàëèçàöèé ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, èëè âêëþ÷åíèå âõîäíûõ äàííûõ è èñêîìîãî ðåøåíèÿ â ñåìåéñòâî ô-öèé ñ çàäàííûìè ïëîòíîñòÿìè âåðîÿòíîñòåé.
Ëèò.: Ëàâðåíòüåâ Ì. Ì. Î íåêîòîðûõ íåêîððåêòíûõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Íîâîñèáèðñê, 1962 [áèáëèîãð. ñ. 90—91]; Òèõîíîâ À. Í. Î ðåøåíèè íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ è ìåòîäå ðåãóëÿðèçàöèè. «Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑл, 1963, ò. 151, ¹ 3; Òèõîíîâ À. Í. Î ðåãóëÿðèçàöèè íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. «Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑл, 1963, ò. 153, M.: Èâàíîâ Â. Ê. Î íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷àõ. «Ìàòåìàòè÷åñêèé ñáîðíèê. Íîâàÿ ñåðèÿ», 1963, ò. 61, â. 2; Òèõîíîâ À. Í. Î íåëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ ïåðâîãî ðîäà. «Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑл, 1965, ò. 161, ¹ 5; Áàêóøèíñêèé À. Á. Îäèí îáùèé ïðèåì ïîñòðîåíèÿ ðåãóëÿðèçèðóþùèõ àëãîðèòìîâ äëÿ ëèíåéíîãî íåêîððåêòíîãî óðàâíåíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. «Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè», 1967, ò. 7, ¹ 3; Àðñåíèí Â. ß., Èâàíîâ Â. Â. Îá îïòèìàëüíîé ðåãóëÿðèçàöèè. «Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑл, 1968, ò. 182, ¹ 1.
Â. ß. Àðñåíèí, À. Í. Òèõîíîâ.