Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.

Пусть дана десятичная дробь 2,73. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей (см. п. Допускают также запись дроби 2,73 в виде десятичной дроби с бесконечным множеством нулей, т. е. Здесь после запятой содержится бесконечно много десятичных знаков. Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Возьмем, например, число — и будем делить числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки. При этом заметим, что любое натуральное число можно представить как бесконечную десятичную дробь, т. е.

Имеем:

Таким образом,

Выпишем последовательно остатки, которые получились при выполнении операции деления:

Ясно, что все эти остатки меньше делителя, т. е. меньше числа 14. Это значит, что на каком-то шаге деления должен неизбежно появиться снова такой остаток, который уже встречался ранее. Так, на седьмом шаге появился остаток 2, который был на первом шаге. Кроме того, ясно, что, как только появится остаток, который уже встречался, за ним пойдут остатки в той же последовательности, которая была ранее. В нашем примере за остатком 2 идет остаток 6, за ним 4, за ним 12 и т. д., т. е. мы получаем такую последовательность остатков:

Периодически повторяющиеся группы остатков приведут соответственно к периодически повторяющейся группе цифр в десятичной записи числа. Так, в нашем примере получим:

Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки:

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической. Так, — чистая периодическая дробь; 0,2 (142857) — смешанная периодическая дробь; смешанная периодическая дробь.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление