Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ

§ 1. О строении курса геометрии

1. Геометрические фигуры.

Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигург треугольника, квадрата, круга, пирамиды, сферы и др.

Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие».

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по нмени древнегреческого ученого Евклида, жившего в III в. до н. э.

Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. С первой частью геометрии вы знакомитесь в восьмилетней школе, со второй — в старших классах. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве (см. главу II).

На рисунке 1 изображены различные фигуры на плоскости. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек. Часть любой геометрической фигуры также является геометрической фигурой. На рисунке 2, а отрезок А В есть часть прямой а, и на рисунке 2, б круг есть часть круга

Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 3 фигура составлена из треугольника и трех квадратов, на рисунке 4 фигура состоит из трех кругов.

В этой главе мы будем рассматривать только фигуры на плоскости.

2. Точка. Прямая.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами:

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами:

Прямую можно обозначить также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую с на рисунке 5 можно обозначить АВ, а прямую b обозначить МК.

На рисунке 5 изображены прямые а и b и точки А, В, М и К. Про точкн М и К говорят, что они лежат на прямой b или что точки принадлежат прямой b. Аналогично точки А и В лежат на прямой а или принадлежат прямой а.

Про прямую иногда говорят, что она проходит через точки.

Так, прямая а на рисунке 5 проходит через точки А и В, а прямая b проходит через точки М, К и А. Можно также сказать, что прямая а не проходит через точку М или что точка К не принадлежит прямой а.

3. Определения. Аксиомы.

Теоремы. В последующих пунктах будут даны определения многих геометрических фигур и других понятий. Дать определение чему-либо — значит объяснить, что это такое. При определении любого понятия употребляются другие понятия, которые должны быть уже известны. Однако нельзя дать определения всех понятий, поэтому некоторые из них принимают без определений и называют их неопределяемыми. К таким понятиям относятся, например, точка и прямая (см. п. 2).

На рисунке 5 прямые а и b имеют одну общую точку А. Прямые, имеющие одну общую точку, называются пересекающимися, а точка А — точкой пересечения прямых с и b.

Рассуждение, с помощью которого устанавливается правильность утверждения о свойстве геометрической фигуры, называется доказательством.

Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, истинность которого доказывается, называется теоремой.

Совершенно ясно, что невозможно доказать все свойства геометрических фигур, не приняв некоторые из них за основные, являющиеся отправными в доказательствах других свойств фигур.

Принимаемые без доказательства свойства фигур называют аксиомами.

По ходу изложения материала будут сформулированы аксиомы, на основе которых построен школьный курс планиметрии. Эти аксиомы обозначены буквой А.

В главе II будет рассмотрена группа аксиом стереометрии.

К аксиомам планиметрии относятся, например, основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Используя уже имеющиеся определения и аксиомы, можно доказать первую теорему планиметрии.

Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Если бы две различные прямые имели две точки пересечения, то получилось бы, что через эти точки проходят две различные прямые. А это невозможно, так как согласно через две точки проходит только одна прямая.

Эта теорема доказывается методом доказательства от противного. Этот метод состоит в том, что сначала делается предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы, а нередко на доказанные ранее теоремы, приходят к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо известной ранее теореме. На этом основании заключают, что предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Строение курса геометрии можно охарактеризовать так:

1. Перечисляются основные геометрические понятия, они вводятся без определения.

2. На основе введенных понятий даются определения всем остальным геометрическим понятиям.

3. Формулируются аксиомы.

4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы, которые, в свою очередь, используются для доказательства других теорем курса геометрии.

Построение геометрии с учетом выполнения всех этих пунктов называется аксиоматическим.

Пример. Даны четыре точки. Сколько различных прямых могут определять эти точки?

Решение. Воспользуемся аксиомой геометрии Существенным здесь является рассмотрение различных возможностей

расположения точек. Принципиально различными являются три случая расположения четырех точек (рис. 6). В первом случае (рис. 6, о) мы имеем одну прямую, во втором случае (рис. 6, б) — четыре прямые, в третьем случае (рис. 6, в) — шесть прямых.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление