Главная > Математика > Математика: Справ. материалы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Многоугольники

28. Ломаная.

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков Точки называются вершинами ломаной, а отрезки звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 84, а показана простая ломаная. Ломаная на рисунке 84, б имеет самопересечения.

Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. На рисунке 85 изображены замкнутые ломаные.

Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Т. 1.36.1 Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Пример. Звенья ломаной EFMO таковы: . Может ли отрезок ЕО равняться: а) 0,5 см; б) 8 см?

Решение. Воспользуемся теоремой 1. 36. Исходя из этой теоремы длина ломаной EFMO должна быть не меньше длины отрезка соединяющего ее концы (рис. 86). Длина ломаной EFMO равна 7 см, а значит, отрезок ЕО должен быть не больше 7 см.

Итак, отрезок ЕО может быть равен 0,5 см и не может быть равен 8 см.

29. Выпуклые многоугольники.

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

На рисунке 87 изображены различные многоугольники.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с вершинами, а значит, и с сторонами называется -угольником.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. На рисунке 88 изображены плоские многоугольники или многоугольные области.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 88, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 88, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Сумма углов выпуклого -угольника равна

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. На рисунке внутренний угол выпуклого многоугольника внешний.

Пример. Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 5, 7, 11.

Решение. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна Приняв за меньший из углов, составим уравнение: откуда Таким образом, углы пятиугольника равны 20°, 60°, 100% 140% 220°.

30. Правильные многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. На рисунке 90 изображены правильные многоугольники: треугольник, четырехугольник (квадрат), пятиугольник и шестиугольник.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

На рисунке 91 многоугольник ABCDE вписан в окружность, а многоугольник описан около окружности.

Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Радиус R окружности, описанной около правильного -угольника со стороной а, находится по формуле

Радиус окружности, вписанной в правильный -угольник со стороной с, находится по формуле

Для правильного равностороннего треугольника

Для правильного четырехугольника (квадрата) в

Для правильного шестиугольника

Пример. Вписать в данную окружность правильный восьмиугольник.

Решение. Два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Для построения правильного восьмиугольника необходимо каждую из этих частей разделить пополам, т. е. провести биссектрисы прямых углов, и полученные 8 точек окружности последовательно соединить отрезками. Получим вписанный в окружность восьмиугольник (рис. 92). Равенство сторон и равенство углов восьмиугольника следует из равенства всех восьми треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними (Т.1.15). Следовательно, полученный восьмиугольник правильный.

31. Длина окружности.

Из наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми сторонами. Имеет место такое свойство длины окружности:

Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.

Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой (читается «пи»): , где С — длина окружности, R — ее радиус. Число иррациональное,

Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле

На рисунке 93 изображена дуга А В окружности с центром О.

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в п°, находится по формуле

Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности следует, что т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на в частности, радианная мера угла 180° равна и, радианная мера прямого угла равна

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в одни радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна

Пример 1. Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой

Решение. Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у» Имеем:

Решая эту систему, получим .

Пример 2. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислить длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.

Решение. 1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна см.

2) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Поэтому а длина окружности равна .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление