Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1

  

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с.

Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.

Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы.

Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.).

Для студентов высших технических учебных заведений.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ
§ 1. Действительные числа.
§ 2. Абсолютная величина действительного числа
§ 3. Переменные и постоянные величины
§ 4. Область изменения переменной величины
§ 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина
§ 6. Функция
§ 7. Способы задания функции
§ 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции
§ 9. Алгебраические функции
§ 10. Полярная система координат
Упражнения к главе I
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
§ 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина
§ 2. Предел функции
§ 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции
§ 4. Бесконечно малые и их основные свойства
§ 5. Основные теоремы о пределах
§ 6. Предел функции (sin x)/x при x->0
§ 7. Число e
§ 8. Натуральные логарифмы
§ 9. Непрерывность функций
§ 10. Некоторые свойства непрерывных функций
§ 11. Сравнение бесконечно малых
Упражнения к главе II
ГЛАВА III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 2. Определение производной
§ 3. Геометрическое значение производной
§ 4. Дифференцируемость функций
§ 5. Производная от функции y = x^n при n целом и положительном
§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx
§ 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного
§ 8. Производная логарифмической функции
§ 9. Производная от сложной функции
§ 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x|
§ 11. Неявная функция и ее дифференцирование
§ 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции
§ 13. Обратная функция и ее дифференцирование
§ 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование
§ 15. Таблица основных формул дифференцирования
§ 16. Параметрическое задание функции
§ 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме
§ 18. Производная функции, заданной параметрически
§ 19. Гиперболические функции
§ 20. Дифференциал
§ 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию
§ 22. Производные различных порядков
§ 23. Дифференциалы различных порядков
§ 24. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически
§ 25. Механическое значение второй производной
§ 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали
§ 27. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу
Упражнения к главе III
ГЛАВА IV. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)
§ 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)
§ 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)
§ 4. Предел отношения двух бесконечно малых величин «раскрытие неопределенностей вида 0/0»)
§ 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин «раскрытие неопределенностей вида oo/oo»)
§ 6. Формула Тейлора
§ 7. Разложение по формуле Тейлора функций e^x, sin x, cos x
Упражнения к главе IV
ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
§ 2. Возрастание и убывание функции
§ 3. Максимум и минимум функций
§ 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной
§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной
§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
§ 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач
§ 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора
§ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
§ 10. Асимптоты
§ 11. Общий план исследования функций и построения графиков
§ 12. Исследование кривых, заданных параметрически
Упражнения к главе V
ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ
§ 1. Длина дуги и ее производная
§ 2. Кривизна
§ 3. Вычисление кривизны
§ 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически
§ 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах
§ 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента
§ 7. Свойства эволюты
§ 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения
Упражнения к главе VI
ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1. Комплексные числа. Исходные определения
§ 2. Основные действия над комплексными числами
§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа
§ 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства
§ 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
§ 6. Разложение многочлена на множители
§ 7. О кратных корнях многочлена
§ 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней
§ 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
§ 10. Интерполяционная формула Ньютона
§ 11. Численное дифференцирование
§ 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева
Упражнения к главе VII
ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных
§ 3. Частное и полное приращение функции
§ 4. Непрерывность функции нескольких переменных
§ 5. Частные производные функции нескольких переменных
§ 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
§ 7. Полное приращение и полный дифференциал
§ 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
§ 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях
§ 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции
§ 11. Производная от функции, заданной неявно
§ 12. Частные производные различных порядков
§ 13. Поверхности уровня
§ 14. Производная по направлению
§ 15. Градиент
§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных
§ 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных
§ 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)
§ 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
§ 20. Особые точки кривой
Упражнения к главе VIII
ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнения кривой в пространстве
§ 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости
§ 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций)
§ 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении
§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение.
§ 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Упражнения к главе IX
ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
§ 2. Таблица интегралов
§ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла
§ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки
§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
§ 6. Интегрирование по частям
§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие
§ 9. Интегрирование рациональных дробей
§ 10. Интегралы от иррациональных функций
§ 11. Интегралы вида ...
§ 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
§ 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
§ 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
Упражнения к главе X
ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
§ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла
§ 3. Основные свойства определенного интеграла
§ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле
§ 6. Интегрирование по частям
§ 7. Несобственные интегралы
§ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 9. Формула Чебышева
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция
§ 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной
Упражнения кглаве XI
ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах
§ 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
§ 3. Длина дуги кривой
§ 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
§ 5. Объем тела вращения
§ 6. Площадь поверхности тела вращения
§ 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла
§ 8. Координаты центра масс
§ 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла
Упражнения к главе XII