Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях

Пусть некоторая величина и является функцией величин

причем, определяя каким-то способом значения величин мы допускаем погрешности Тогда значение вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с

погрешностью

Ниже мы займемся оценкой погрешности если известны погрешности

При достаточно малых абсолютных значениях величин можем приближенно заменить полное приращение полным дифференциалом:

Здесь значения частных производных и значения погрешностей аргументов могут быть как положительными, так и отрицательными. Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство

Если через обозначим максимальные абсолютные погрешности соответствующих величин (границы для абсолютных величин значений погрешностей), то можно, очевидно, принять

Примеры.

1. Пусть тогда

2. Пусть тогда

3. Пусть тогда

4. Пусть тогда

5. Гипотенуза с и катет а прямоугольного треугольника ЛВС, определенные с максимальными абсолютными погрешностями соответственно равны Определить угол по формуле максимальную абсолютную погрешность при вычислении угла . Решение, следовательно,

По формуле (2) получим:

Таким образом,

6. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катет угол при этом максимальная абсолютная погрешность при определении катета b равна максимальная абсолютная погрешность при определении угла А равна

Определить максимальную абсолютную погрешность при вычислении катета а по формуле .

Решение, По формуле (2) находим

Подставляя соответствующие значения (и помня, что ДМ нужно выразить в радианах), получим

Отношение погрешности некоторой величины к приближенному значению этой величины называется относительной погрешностью величины. Будем его обозначать

Максимальной относительной погрешностью величины называется отношение максимальной абсолютной погрешности к абсолютной величине и обозначается

Для оценки максимальной относительной погрешности функции разделим все числа равенства (2) на

но

Поэтому равенство (3) можно переписать так:

или коротко

Из формул как (3), так и (5) следует, что максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции.

Из формулы (6) следуют правила, применяемые в приближенных вычислениях.

1. Пусть Пользуясь результатами примера 3, получим

т. е. максимальная относительная погрешность произведения равняется сумме максимальных относительных погрешностей сомножителей.

2. Если то, пользуясь результатами примера 4, находим

Замечание. На основании примера 2 следует, что если , то . Если х и у близки, то может оказаться, что будет очень велика по сравнению с определяемой величиной Это обстоятельство следует учитывать при производстве вычислений.

Пример 7. Период колебания маятника равен где - длина маятника, - ускорение силы тяжести.

Какую относительную погрешность в определении Т мы допустим по этой формуле, принимая (с точностью до 0,005), (с точностью до 0,01 м), g = 9,8 м/с2 (с точностью до ).

Решение. По формуле (6) максимальная относительная погрешность равна . Но

Вычислим . Учитывая, что получим:

Итак, максимальная относительная погрешность равна

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление