Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция двух переменных

непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка включительно в некоторой окрестности точки

М(а, b). Тогда, аналогично тому, как это было в случае функции одной переменной (см. § 6 гл. IV), функцию двух переменных представим в виде суммы многочлена порядка по степеням и и некоторого остаточного члена. Ниже будет показано, что для случая эта формула имеет вид

где коэффициенты не зависят от остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной.

Применим формулу Тейлора для функции одной переменной у, считая постоянным (ограничимся членами второго порядка):

где Функции разложим по формуле Тейлора по степеням а, ограничиваясь смешанными производными до третьего порядка включительно:

где

где

где

Подставляя выражения (3), (4) и (5) в формулу (2), получим

Располагая слагаемые так, как указано в формуле (1), получим

Это и есть формула Тейлора при Выражение

называется остаточным членом. Обозначим, далее, Преобразуем

Так как и третьи производные, по условию, ограничены, то коэффициент при ограничен в рассматриваемой области; обозначим его через

Тогда можем написать

Формула Тейлора (6) в принятых обозначениях для случая примет вид

При любом n формула Тейлора имеет аналогичный вид.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление